解决问题优质课教案

《圆面积的综合应用》教学设计

邢台市达活泉小学

王静雅

教学内容

例3 人教版小学数学教材六年级上册第69～70页例3及相关练习。

图中两个圆的半径都是1 m，你能求出

正方形和圆之间部分的面积吗？

一、两图难易差别大，解决“外圆内方”体会转化思想。

教学思考

外方内圆学生容易解决；外圆内方由于无法直接找出正方形的边长，学生解决起来较困难，需要进行转化。所以在学习活动开展的形式上，“外圆内方”采用了小组讨论与全班交流相结合，让学生有充分的台阶与时间来体会理解。“转化”思想的渗透是这节课让学生感受的重点。在这个单元中，我们也不难看到它的身影。如《圆的周长》中的化曲为直，《圆的面积》中把圆转化成近似的长方形；做的题目中，求圆的面积时找不出半径，但可以找到半径的平方。这样经常渗透，帮助学生顺利建立起这样的意识。在解决这个问题时，学生通常画圆内水平和竖直的直径，不习惯画斜着的直径，对学生来说是惯性思维对学生的限制。

二、对辅助线的理解和感觉是本节课的难点。

“外方内圆”中，学生比较容易感受到正方形的边长等于圆的直径。这样的感受背后，学生把静止的图形，想象成线段的平移，发展了学生的空间想象能力。“外圆内方”中，正方形的对角线就是圆的两条直径，对成年人来说都很难证明，所以这是小学生很难理解的。在这个单元中，学生已经学习过《利用圆设计美丽的图案》，在那一课时中，学生经过过画圆的内接正方形，需要先画两条相互垂直的直径。从而对这个问题就好理解了。此外，在本单元起始课《圆的认识》中，学生认识了直径所在的每一条直线都是圆的对称轴，，就有学生说出正方形的对角线所在的直线是正方形的对称轴，也就是圆的对称轴，所以正方形的对角线就是圆的直径。这样的推理对小学生来说已经十分严密了。

三、“回顾与反思”环节使用的方法渗透着函数的思想，帮助学生从算术过渡到代数积累重要的经验。

例题中计算了半径是1m的情况，回顾与反思中，教材提出了“半径是r时，结果会是怎样呢？”这样的问题。带着字母的式子，对于学生来说，列式、化简都很有难度，所以这个环节由教师带着学生一起完成。当化简出最后结果时，代入半径是1m的计算学生要掌握，从而感受当半径去其他数值时，也可以代入求值。接下来的联系中，计算直径是24cm的外圆内方的铜镜中的面积问题时，不同的学生就有了不同的认识。大部分学生还是利用习惯的算术方法，从头到尾算一遍；小部分学生想到了利用例题中的一般结论。学生之间再分享交流，帮助学生积累了代数的重要经验。

教学目标

1．能从具体情境中抽象出与圆相关的组合图形的特征，掌握计算此类图形面积的方法。

2．体会辅助线的添加和作用，进一步理解圆的特征和性质，并应用在具体的问题情境中。

3．通过独立思考、遇到困难，同学交流、转化困难的过程，体会转化的思想。

4．经历解决问题的完整过程，学习回顾反思时从特殊到一般的方法来检验答案，初步体会函数思想。

教学重点

1.

掌握计算与圆有关的简单的组合图形面积的方法。

2.

初步体会转化思想、函数思想。

1．“外圆内方”中将正方形转化为两个三角形，初步体会转化思想。

教学难点

2.了解从特殊到一般的方法，初步体会函数思想。

课件、学习单。

教学准备

教

学

过

程

环

节

教师活动

一、

谈话

引入

二、

学生活动

设计意图

直入主题。

我们已经学习了圆，会求圆的面

积。今天我们来综合运用圆的面了解本节课内容。

积解决问题。

观察雕窗图案。

同学们请看，这样精美的雕窗，在古代建筑中经常能够看到。

请仔细观察，谁能说说这两种设计有什么区别和联系？

阅读

它们都是组合图形。

图形，

理解

问题。

我们可以将左图概括地称为外方内——，那右图就概括为外—

—

还有吗？

（如果学生说不出来，就提示：雕窗的设计这么美，其中圆和正

方形的大小关系呢？）

他说是最大的，大家想象一下，

里面的图形再变大一些——

都是由圆和正方形这两个图形组成的。

左边的雕窗外面是方的里面是圆的；右边的雕窗外面是圆的里面是方的。

圆

圆内方

左图中，圆是正方形中最大的；右图中，正方形是圆中最大的。

就出来了。

（学生也有可能说到，左图中正方形的边长就等于圆的直

三、

自主、合作

解决

问题

对于左图，他有了深入地思考。他发现了什么？（请学生重复）

我们一起把雕窗抽象成数学图形，一起想象，左图是正方形中最——

右图是圆中——

（一边指着，一边描述，一边播放课件）

好，我们就来解决这两幅图中，有关面积的问题。

(课件中出示题目) 请大家默读题目。（留上15秒，此时板书“外方内圆”“外圆内方”。）

你知道了什么？

要求的是什么呢？

在这两个图中，正方形和圆之间部分的面积分别指——（此处的提问还不太顺，另一种方式是问：你怎么理解？）

请你猜一猜，哪副图中涂色部分的面积大？

拿出学习单，求一求就知道了。

（学生边说边在课件上涂阴影。）

好，拿出学习单，试着自己做一做这道题。

（师巡视，大部分学生做出左图，就开始组织交流。）

看到大家都做出了一部分，现在都停下笔了，好像有困难。请大家先放下笔，一起交流交流吧。

径。）

最大的圆

最大的正方形

学生默读。

两个圆的半径都是1m。

正方形和圆之间部分的面积。

是四个类似与三角形的小角。

左图是用正方形的面积减去圆的面积；右图是用圆的面积减去正方形的面积。

学生独立做题。

（此处大约留4分钟左右的时间就足够了。看到大部分学生做出左图，就可以交流了。右图大多数人都没有思路，留下交流。）

1、左图

外方内圆，中间部分的面积谁计算出来了？

（随机抽一个学生）请你来讲一讲吧。

（再找学生重复。）

（提醒学生，把你认为关键的话说慢一点。）

If 学生讲到“正方形的边长就是圆的直径”，问：他有一句很关键的话，谁听出来了？

If 学生上来列了算式，说：

谁认为正方形的边长等于圆的直径？

确定等于吗？

确定等于吗？

（此时有学生放下手了）你看，好多都把手放下了。（找一个坚定的举着手的）

你来说说看。

（如果说不出来）你得讲道理呀。

（如果他说出做的直径平移到正方形的边，立刻评价：孩子，你的感觉非常好，能把静止的图在头脑中想成运动的，了不起！）

（如果只说出了做水平的直径，没有说到向上平移，师引导：请你想象这条直径向上平移，平移一段后，会跟正方形上边这条边重合。）

（关键点解决完了，列式，板书。）

现在要找两个同学，一个人讲，一个人写，配合着把算式列在黑板上。谁敢？

你来什么？谁来说的/写的？

好，咱们大家要注意听，看看他们完成得怎么样，也看看跟你算的道理一样吗。

小结：要求正方形和圆之间部分的面积，就应该用——（手势要指在图中，跟上）

圆的半径知道，这道题的关键就是要找—— 2、右图

我们再看右图。谁做出来了？

我们都遇到了困难。卡在哪了？

正方形的边长找不到，你又有什么好办法能求它的面积吗？小组讨论讨论。（此处预留5分钟）

谁做出来了？说一说吧。

孩子，你说慢一点，让我把你的想法记录下来。等他说完了，再追问别的同学算式的每一部分表示什么含义。

（如果说的太快，就要提醒他：孩子我能感觉到你是有根据的，但为了让别人明白你的想法，关键的地方你要说慢一点。）

（指给学生写在哪）

（指导单位等书写细节）

正方形的面积减去圆的面积。

正方形的边长。

我找不到正方形的边长。

（if学生说正方形的边长是1m，抛给学生：你们认为呢？）

把正方形看成两个三角形。三

（学着学生点头的样子）哦，恍角形的底是圆的直径，高是半然大明白。还有眉头紧锁的。

径。

他的想法中有一个关键的转化，

谁听懂了？

把正方形看成两个三角形。

（如果学生说不出这条辅助线，

就问：怎么转化成两个三角

形？）

“神奇的转化”。三角形的面积

能求出来吗？不着急，都看着图

好好想一想。（停留10秒）你三角形的底是2，高是1，面到前面来，指着图讲一讲。

积是2×1×二分之一，再乘你一边讲，我一边记录。大家也2，就是正方形的面积。

一起写在学习单上。

圆的面积，是……

谁来接着讲完？

同桌两人再互相讲一讲。

回顾与刚才两个圆的半径都是1m，是非当r=1m时，代入求值。

常特殊的数。如果两个圆的半径

反思

都是r，计算方法一样吗？

我们一起算一算。

当r=1m时，代入求值。

四、巩1、书上第70页做一做。

右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24cm。外固练习

面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？

2、图中圆的半径是r，你能计算大正方形和小正方形之间的面

积吗？