*5 一元二次方程的根与系数的关系教学设计模板

《5

一元二次方程的根与系数的关系》教案

教学目标：

掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程两根的倒数和与平方和．

教学重点：

掌握一元二次方程根与系数的关系．

教学难点：

熟练应用一元二次方程根与系数的关系解决问题．

教学过程：

解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？

222(1)x－2x＝0 (2)x＋3x－4＝0 (3)x－5x＋6＝0.

探索

2一般地，对于关于x的一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0) 用求根公式求出它的两个根x21、x2，由一元二次方程ax＋bx＋c＝0的求根公式知

22bb4acbb4ac

x1=，x2=2a2a能得出以下结果：

x1＋x2= 即：两根之和等于 x1•x2= 即：两根之积等于 22bb4acbb4ac

x1x2=+2a2a22bb4acbb4ac= =2a22bb4acbb4ac

x1.x2=×2a2a22(bb4ac)(bb4ac)=(=4a2)2(4a2)2=

由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为

x1+x2=bc，x1x2=

aa2如果把方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为

x2＋ x＋c＝0(a≠0)，

a则以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：

x2-( )x＋x1x2＝0(a≠0) 例1：已知方程5x＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；

解：设方程的另一个根是x1，那么2x1又x1+2=26(为什么？)∴x1= 5k(为什么？)∴k= 5想一想，还有没有别的做法？

2例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x＋3x-1＝0的两个根的

(1)平方和 (2)倒数和

解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= 222(1)∵(x1+x2)= x1+2 +x2

222∴x1+x2=(x1+x2)-2 = (2)11x1x2x1x2

13122

例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是3，解：所求的方程是x-(3211112)x＋(3)2＝0 (为什么？) 322322即x+ x- ＝0或6x+ x- ＝0

例4：已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．

2解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x-8x＋9＝0的两个根

解这个方程，得x1= ，x2= 因此，这两个数是 ， ．

练习：

1、下列方程两根的和与两根的积各是多少？

222(1)y-3y+1=0 (2)3x-2x=2 (3)2x+3x=0

22(4)3x+5x-2=0 (5)2y-5=6y (6)4p(p-1)-3=0

2、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值．

3、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．

x2x1

(1)(x1+1)(x2+1) (2)x1x24、求一个一元二次方程，使它的两个根分别为4，-7．

5、已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数．