2.3.1 椭圆的参数方程课件配套优秀教案案例

椭圆的参数方程教学设计

河北赵县中学 魏敬波

教材分析

本节内容是在高中数学选修2-1《椭圆的标准方程》之后的升华；从教材的编排看，椭圆的参数方程被安排在圆的参数方程与双曲线的参数方程中间，起着衔接、过渡、承上启下的作用。

学情分析

学生已经掌握了椭圆的标准方程和性质，能够简单的应用，但是对于一些求最值的问题感到计算比较困难。因此，本节课椭圆的参数方程的教学应该帮助学生解决好以下问题：

1.类比圆的参数方程的建立得出椭圆的参数方程；

2.引导学生探究《选修4-4》第28页图2-8的建立过程，体会椭圆参数的几何意义；

3.能利用椭圆的参数方程解决有关的问题。

教学目标

1.知识与技能：了解并掌握椭圆的参数方程及其参数的几何意义，有利于更好地运用公式解决问题。

2.过程与方法：通过探究了解椭圆的参数方程中参数的几何意义，加深对椭圆的参数方程的理解。

3情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的过程，培养数形结合，探究能力，发散思维和创新意识。

教学重点

椭圆的参数方程及其应用

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教学难点

正确理解椭圆的参数方程中参数的几何意义

教学过程

一、创设情境

问题1、回忆圆x2y2r2的参数方程，并指出其中参数的几何意义。

xrcos 

(为参数) yrsin问题2、类比圆x2y2r2的参数方程，你能说出椭圆x2y221(ab0)的参数方程吗？

2ab xacos

(为参数)

ybsin练习1：把下列普通方程化为参数方程. x2y2x2y21 (3)、221(ab0)

(1)、xy4 (2)、169ab22二、椭圆参数方程的构建

问题：以坐标原点O为圆心，分别以a、b为半径作两个圆。点A是大圆上任意一点，点B是大圆半径与小圆的交点，过点A作AN⊥x轴于点N，再过点B作BM⊥AN于点M。求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。

首先，师生共同阅读、正确理解题意，同时画出符合题意的图形。

其次，引导学生选择恰当的参数，

构建椭圆的参数方程。

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①提问学生选取什么作为参数？

②再问学生选择该参数的理由；

(因为点A是主动点，点M是从动点，所以选择∠xOA为参数) ③构建椭圆的参数方程：

如图，设∠xOA＝θ，点M的坐标为(x,y)。

则x＝ON＝|OA|cosθ＝acosθ，y＝NM＝|OB|sinθ＝bsinθ。

acos

(θ为参数)。

即xybsin这就是点M轨迹的参数方程。

最后，提问学生点M的轨迹是一条什么曲线？为什么？并引出离心角的概念。

直接消去参数θ，化参数方程为普通方程可知点M的轨迹是椭圆；

三、正确理解椭圆离心角θ的几何意义

1.给出离心角与旋转角的概念

如图，我们称∠xOA为椭圆的离心角，而把∠xOM叫做椭圆的旋转角。

2.初步认识椭圆的离心角θ

由图可知∠xOA≠∠xOM；

3.通过下面的练习加深对离心角的认识

练习2：把下列参数方程化为普通方程

x3cosx8cos (2)

(1)y5siny10sin

3

练习3：已知椭圆的参数方程为x2cos (是参数) ，则此椭圆ysin的长轴长为（ ），短轴长为（ ），焦点坐标是（ ），离心率是（ ）。

四、利用椭圆的参数方程解题：

x2y2例题.在椭圆1上求一点M，使点M到直线x+2y-10=0的距94离的最小，并求出最小距离。

分析：可利用椭圆参数方程.

解：因为椭圆的参数方程为的坐标为(3cosθ，2sinθ)。

由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为

345(cossin)103cos4sin101555cos()10，其d===555x3cos(θ为参数)，所以可设点My2sin中cos=，sin=。

由三角函数性质知，当-=0时，d

取最小值5。此时，3cos=3cos=，2sin=2sin=。

因此，当点M位于(，)时，点M到直线x+2y-10=0的距离取最小值5。

五、本课小结

acos

(θ为参数)。

①椭圆的参数方程：xybsin958595853545②参数θ是椭圆的离心角，它不同于椭圆的旋转角。

六、课后作业

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x2y21、已知椭圆221(ab0),求椭圆内接矩形面积的最大值。

abx2y22、在平面直角坐标系xoy中，设P(x,y)是椭圆1上的一个2516动点，求Zx2y的最大值。

3、课本P29

思考

七、课后反思

本节课主要学习椭圆的参数方程，了解它的建立过程，了解它与普通方程的相互联系，并能相互转化；通过推导参数过程进一步巩固坐标法。教学设计要紧扣课程标准的要求，结合学生已有的知识经验出发，通过知识间的内在联系，充分发挥学生的主体作用，从中体会其中蕴涵的数学思想方法，使学生深化对知识本质的认识。

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