1.4.1 圆心在极轴上且过极心的圆教学内容概述

圆的极坐标方程教学设计

（一）教学目标

1.掌握极坐标方程的意义

2.能在极坐标系中给出简单图形的极坐标方程

（二）教学重点:极坐标方程的意义

（三）教学难点:极坐标方程的意义

（四）教学方式

启发式、探究式

（五）教学过程

1．复习引入——创设情境

知识回顾: 1.

圆的标准方程

2.

圆的一般式方程

3.

余弦定理

4.

诱导公式

5.

两角和差公式

6.

辅助角公式

7.

极坐标与直角坐标的互化关系式

最后引导学生回忆在直角坐标系下，曲线的方程的定义。

师：在平面直角坐标系中，曲线C可以用方程f(x,y)=0表示，曲线的方程是如何定义的？

（①曲线C的点的坐标都是方程f(x,y)=0 的解；

②以方程

f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点．

那么这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做是曲线的方程．）

2．新课学习——探索发现

请学生类比直角坐标系下曲线的方程的定义，大胆猜想极坐标中，曲线的极坐标方程的定义。

（学生可能猜想出：在极坐标系中，如果

（1）曲线C的点的极坐标都是方程f(ρ,θ )=0的解；

（2）以方程f(ρ,θ )=0的解为坐标的点都在曲线C上．

那么方程f(ρ,θ

)=0 叫做曲线C的极坐标方程．） 引导学生思考：在直角坐标系中,曲线上每一点的坐标一定都满足它的方程.那么,在极坐标系中,曲线上一点的所有极坐标是否一定都满足方程呢？

通过举例得出结论：曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程.

让学生观看生活中的一些图片：阿基米德螺线，心形线，玫瑰线及他们对应的方程，让学生体会数学之美，激发学生学习兴趣

aa1sinasink再引导学生回忆直角坐标系中求曲线方程的一般步骤。

（建系→设点→列式→化简→结论）

探究一

已知圆O的半径为a (a>0)，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程最简单？

解：以圆心O为极点，从O出发的一条射线为极轴建立坐标系，设M（ρ，θ）M ρ

O θ

x 为圆上任意一点，则

ρ=a

为所求圆的极坐标方程。

探究二：

如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a,0)(a0)

你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件吗？

解：圆经过极点O，设圆与极轴的另一个交点是A，设M(,)为圆上除点O,A以外的任意一点，

在RtAMO中，可以验证，点O(0,)和A(2a,0)满足上式。2

2acos(1)所以，2acos就是圆心在C(a,0)(a0),半径为a的圆的极坐标方程。所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件，另一方面，可以验证，坐标适合等式(1)的点都在这个圆上。

设计意图：由此完善“曲线的极坐标方程“的定义：

一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(,)0，并且坐标适合方程f(,)0的点都在曲线C上，那么方程f(,)0叫做曲线C的极坐标方程． 变式1：在极坐标系中，求半径为a，圆心为C(a,)的圆的极坐标方程．

2(2asin) 师：建立直线和圆的极坐标方程的步骤与建立直线和圆的直角坐标方程的步骤一样，你能小结一下吗？

(投影)分4个步骤：

(1)用(ρ，θ)表示曲线上任意一点M的坐标；

(2)写出适合条件ρ的点M的集合P=｛M|p(M)｝；

(3)用坐标表示条件ρ(M)，列出方程f(ρ，θ)=0；

(4)化方程f(ρ，θ)=0为最简形式．

变式2：在极坐标系中，求半径为a，圆心为C(a,)的圆的极坐标方程．

(2acos) 变式3：在极坐标系中，求半径为a，圆心为C(a,(2asin) 3)的圆的极坐标方程．

2

探究三

：

若半径为a的圆的圆心坐标为Ca,0你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标,满足的条件吗？

2acos0

求圆心C0,0,半径为r的圆的极坐标方程.

解：设M,为圆周上任意一点.

在OMC中,



由余弦定理知：CMOMOC2OMOCcosCOM222即r22020cos02所以r22020cos0就是20,0,半径为r的圆的极坐标方程圆心在.3. 课堂练习——巩固新知

练习：若点Ｃ的直角坐标为（-1，1），求以Ｃ为圆心，且经过原点Ｏ的圆的极坐标方程．

解：在Rt△AMO中，

|OM|=|OA|cos∠MOA 即

A y 22cos(3)

4M ρ

θ

4. 课堂小结——凝炼提升

O （1）曲线的极坐标方程概念；

（2）求曲线的极坐标方程的步骤；

（3）圆的极坐标方程。

5.课堂小测（检测学生本节课学习效果）

6.课后作业

附：

巩固训练 1.极坐标方程cos(4)所表示的曲线是（）

试一试圆10cos(3)的圆心坐标是（）

A、(5,0)B、(5,)C、(5,)D、(5,2) 3 33

3. 变式1.已知一个圆的方程是53cos5sin,

求圆心坐标和半径。x 2.

4 1.在极坐标系中，求圆心在A（1，），半径为1的圆的极坐标方程42.已知圆的极坐标方程2cos，求出圆在直角坐标系下6的圆心及半径.