1.1.1 直角坐标系教学设计

坐标系

__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

1．会建立极坐标系，并会在极坐标下表示点.

2．能区别极坐标系和平面直角坐标系,并记下极坐标与直角坐标的互化公式.

3.会求圆心不同的圆的极坐标方程。

4.会在极坐标系中求出任意直线的方程。

5.能把柱坐标与直角坐标点的坐标互化。

6.掌握球坐标与直角坐标中点坐标的互化。

一.平面直角坐标系．

在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．它使平面上任一点P都可以由唯一的实数对(x，y)确定．

二．坐标法．

根据几何对象的特征，选取适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的坐标法．

三．伸缩变换．

x′＝λx，λ>0，设P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y′＝μy，μ>0y)对应点P′(x′，y′)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

四．极坐标系的建立．

在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和一个角度单位及其正

方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中O称为极点，射线Ox称为极轴)．

设M为平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)，一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．

五．直角坐标与极坐标的互化．

以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度，平面内的2x2y2xcos任一点P的直角坐标和极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则或

yysintan(x0)x注意:互化公式的三个前提条件

（1）极点与直角坐标系的原点重合; （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; （3）两种坐标系的单位长度相同.

六．圆的极坐标方程．

(1)圆心在(a，0)(a＞0)半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acosθ．

(2)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标的方程为ρ＝r．

七．直线的极坐标方程．

ππ1.直线l经过极点，从极轴到直线l的角为，则直线l的极坐标方程为θ＝，ρ∈R．

462.过点A(a，0)(a＞0)且垂直于极轴的直线l的极坐标方程为ρcosθ＝1．

3.直线l过点P(ρ1，θ1)且与极轴所成的角为α，则直线l的极坐标方程为ρsinθ＝1．

八．柱坐标系．

建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，在Oxy平面的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．把建立上述对应关系的坐标系叫作柱坐标系．有序数组(ρ，θ，z)叫作点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z∈R.空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换关系为：

xcos

ysinzz九．球坐标系．

建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ，点P的位置可以用有序数组(r，φ，θ)表示．我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)．有序数组(r，φ，θ)叫作点P的球坐标，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π. x2y2z2r2xrsincos空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为：．

yrsinsinzrcos

类型一.平面直角坐标系中的伸缩变换

例1：由曲线y＝tanx得到曲线y＝3tan2x的伸缩变换为________．

解析：(1)设变换为

x′＝λy′＝μxλ>0，yμ>0，

3则μy＝3tan2λx，即y＝tan2λx，

μ1与y＝tanx比较，则有μ＝3，λ＝，

21x′＝x，2所以y′＝3y.例2：求圆x2

2

x′＝2x，＋y＝4经过伸缩变换y′＝3y

后的图形的方程．

解析：由x′＝2x，y′＝3y

＋1x＝x′，2得1y＝3y′.＝4，即

＋

代入x＋y＝4得2222x′2y′249x′2y′2163616＝1，

＋＝1. 所以圆x＋y＝4在此伸缩变换下的方程为答案：x′2y′236x′2y′216＋36＝1. x′＝3x，练习1：在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：

2y′＝y.1(1)求点A(，－2)经过φ变换所得的点A′的坐标；

31(2)点B经过φ变换后得到点B′(－3，)，求点B的坐标；

2解析：(1)设点A′(x′，y′)．

x′＝3x，由伸缩变换φ：2y′＝y，

x′＝3x，得到1y′＝y.2

1又已知点A(，－2)．

311于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1. 32∴变换后点A′的坐标为(1，－1)．

x′＝3x(2)设B(x，y)，由伸缩变换φ：2y′＝y

1x＝x′，得到3y＝2y′，

1由于B′(－3，)，

211于是x＝×(－3)＝－1，y＝2×＝1，

32∴B(－1,1)为所求．

答案：(1)(1，－1) (2)(－1,1)

类型二.求曲线的极坐标方程

1例3：△ABC中，底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标2方程．

解析：

θ如图，设A(ρ，θ)，在△ABC内，则∠B＝θ，∠A＝，

2ρ又|BC|＝10，|AB|＝ρ.于是由正弦定理，得3θsinπ－2θ3θ即ρsin＝10sin，

22θθ10sin θcos＋cos θsin∴ρ＝. 22θsin2化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cosθ. 答案：ρ＝10＋20cosθ

ππ练习1：求经过O(0,0)，A6，，B62，三点的圆的极坐标方程．

24解析：∵O，A，B的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，如图，△AOB是以OB为斜边的等腰10＝，

sinθ2直角三角形，

∴过这三点的圆的圆心为OB的中点(3,3)， 1半径r＝|OB|＝32. 2∴圆的直角坐标方程为(x－3)＋(y－3)＝18，

即x＋y－6x－6y＝0，

∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

∴圆的极坐标方程为ρ－6ρ(sinθ＋cosθ)＝0，

22222

π即ρ＝62cosθ－

4π答案：ρ＝62cosθ－

4

答案：

类型三.极坐标与直角坐标的互化

2例4：(1)极坐标方程ρcos2θ－2ρcosθ＝1表示的曲线是(

) A．圆

2B．椭圆

C．抛物线

D．双曲线

解析：(1)由方程ρcos2θ－2ρcosθ＝1，得

ρ(cosθ－sinθ)－2ρcosθ＝1，

222xcos2222又由互化公式ysin得x－y－2x＝1，即(x－1)－y＝2，此方程表示以(1,0)为中心，222xy焦点为F1(－1,0)，F2(3,0)的等轴双曲线．

答案：D 5π例5：根据下列点的柱坐标，求(2，，3)直角坐标：

6解析：设点的直角坐标为(x，y，z)．

5π(1)y＝ρsin θ＝2sin＝1，6z＝3，x＝ρcos θ＝2cos

5π＝－3，6

因此所求点的直角坐标为(－3，1,3)．

答案：(－3，1,3)

33例6：已知点M的球坐标为(2，π，π)，求它的直角坐标．

44解析：设点的直角坐标为(x，y，z)．

则错误!

答案：点M的直角坐标为(－1,1，－2)

π练习1：根据下列点的柱坐标，求(2，，5)直角坐标：

4解析：y＝ρsin θ＝z＝5.x＝ρcos θ＝2cos＝1，π2sin＝1，4π4

故所求点的直角坐标为．

答案：(1,1,5)

55练习2：点M的球坐标改为M(3，π，π)，试求点M的直角坐标．

63解析：设M的直角坐标为(x，y，z)．

5π5π33，则y＝rsin φsin θ＝3sinsin＝－6345π33z＝rcos φ＝3cos＝－.62x＝rsin φcos θ＝3sin33333∴点M的直角坐标为(，－，－) 44233333答案：M的直角坐标为(，－，－)

4425π5π3cos＝，634

π练习3：在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cosθ－上的动6点，试求PQ的最大值．

解析：∵ρ＝12sinθ，∴ρ＝12ρsinθ. ∴x＋y－12y＝0，即x＋(y－6)＝36. π又∵ρ＝12cosθ－，

6ππ2∴ρ＝12ρcos θcos＋sin θsin

66∴x＋y－63x－6y＝0，

即(x－33)＋(y－3)＝36. ∴|PQ|max＝6＋6＋答案：18

1.原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点(－5，53)的极坐标是(

)．

A．10,3r(32222222222＋3)2＝18. π

3B．10,4π

3C．10,2π

3D．10,2π

3答案：B

２．设点P的直角坐标为(4,4,42)，则它的球坐标为(

)．

A．8,ππ,

44B．8,3ππ,

44C．8,π3π,

44D．8,3π3π,

44答案：A

３．曲线的极坐标方程为ρ＝4cosθ，化成直角坐标方程为(

)．

A．x＋(y＋2)＝4 C．(x－2)＋y＝4 答案：C

４．已知点P的极坐标为(1，π)，则过点P且垂直极轴的直线方程是(

)．

A．ρ＝1 答案：C

５．将极坐标方程ρ＝cosθ－2sinθ化为直角坐标方程为(

) A．x＋y－x＋2y＝0 B．x＋y＋x－2y＝0 C．x＋y－2x＋y＝0 D．x＋y＋2x－y＝0 答案：A 222222222222

B．x＋(y－2)＝4 D．(x＋2)＋y＝4 2222B．ρ＝cosθ

C．＝1

cosD．＝1

cos６．已知点M的直角坐标为(0,0,1)，则点M的球坐标可以是(

) A．(1,0,0) C．(0,0,1)

答案：A

B．(0,1,0) D．(1，π，0) π７. 在极坐标系中，点2，到直线ρsinθ＝2的距离等于________．

6π解析：由题意知，点2，的直角坐标是(3，1)，直线ρsinθ＝2的直角坐标方程是y＝2，6所以所求的点到直线的距离为1. 答案：1 π则|CP|＝________. ８. 已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为4，，3解析：圆ρ＝4cosθ的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，圆心C(2,0)．点P的直角坐标为(2,23)，所以|CP|＝23.

答案：23 ９．已知点M的球坐标为(4，，π3π44)，则它的直角坐标是________，它的柱坐标是________．

解析：设M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)．

π3π则x＝rsinφcosθ＝4×sin4×cos4＝－2，

π3πy＝rsinφsinθ＝4×sin4×sin4＝2，

πz＝rcosφ＝4×cos4＝22. ∴点M的直角坐标为(－2,2,22)．

z＝ρsin θ，又z＝22，－2＝ρcos θ

3π解之得ρ＝22，θ＝，z＝22. 43π∴点M的柱坐标为(22，，22)．

43π答案：(－2,2,22) (22，，22) 4

_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________

基础巩固

1.已知点P的柱坐标为2,A．(2，1,1)

π,1，则它的直角坐标为(

)．

4B．(1,1,1) D．(1,0,1) [来源:学,科,网Z,X,X,K]C．(2，2，1)

答案：B

2.极坐标方程A．y＝x

3π(ρ≥0)的直角坐标方程是(

)．

4B．y＝－x C．y＝－x(x≤0)

D．y＝x(x≥0)

答案：C

3.圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心的极坐标是(

)．

A．1,π

4B．1π,

24C．2,π

4πD．2，

4答案：A

4.在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为(

)．

A．ρsinθ＝2 答案：B

5.在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝2的距离为d，则d的最大值为(

) A．5 答案：C

6．从极点作圆ρ′＝2asinθ′的弦，则各条弦中点的轨迹方程为__________．

答案：ρ＝asinθ

7．极坐标方程分别为ρ＝2cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距为__________．

答案：

8．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ0,0B．6 C．4 D．3 B．ρcosθ＝2 C．ρcosθ＝4 D．ρcosθ＝－4 5

2π，则曲线2C1与C2交点的极坐标为________．

答案：23,

能力提升

９．极坐标方程cosA．双曲线

π

6表示的曲线是（

）

4C．抛物线

D．圆

B．椭圆

答案：D

１０．圆A．1,2(cossin)的圆心坐标是（

）

B．,

41

24C．2,

4D．2,

4答案：A

１１．在极坐标系中，与圆4sin相切的一条直线方程为（

）

A．sin2

答案：B B．cos2

C．cos4

D．cos4

１２.已知点A2,3,B2,,O0,0则ABO为（

）

24B、直角三角形

C、锐角等腰三角形

D、直角等腰三角形

A、正三角形

答案：D 1３.4(0)表示的图形是（

）

A．一条射线

答案：Ａ

B．一条直线

C．一条线段

D．圆

１４.直线与cos()1的位置关系是

A、平行

答案：B

B、垂直

C、相交不垂直

D、与有关，不确定

１５.与曲线cos10关于对称的曲线的极坐标方程是__________________. 4答案：sin10

１６.ABC的底边BC10,A1B,以B点为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹方程. 2答案：解:设M,是曲线上任意一点,在ABC

中由正弦定理得:3sin()210sin2

得A的轨迹是:3040sin2

课程顾问签字： 教学主管签字：2