14.2 三角形的内角和第二课时教学实录

课题：14.2三角形内角和（1）

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教学目标：

知识与技能目标：

1．会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180；

2．能用三角形内角和等于180进行角度计算和简单推理，并初步学会利用辅助线解决问题，体会转化思想在解决问题中的应用．

过程与方法目标：

1．通过拼图实验、合作交流、推理论证的过程，体现“做中学”，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力，初步获得科学研究的体验；

2．掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.. 情感态度与价值观目标：

1．通过操作、交流、探究、表述、推理等活动，培养学生的合作精神，体会数学知识内在的联系与严谨性，鼓励学生大胆提出疑问，培养学生良好的学习习惯.

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重点：

三角形内角和定理的证明及其简单的应用；

难点：

在三角形内角和定理的证明过程中如何添加辅助线.

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教学流程：

一、

情境引入

内角三兄弟之争

在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起了……”“为什么？”

老二很纳闷.

同学们，你们知道其中的道理吗？

目的：通过对话激发学生的求知欲；让学生通过小组讨论：其中的道理．

二、

自主探究

探究1：

以前你用什么办法验证三角形内角和是180º

把三个角拼在一起试试看？

从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗? 目的：让学生通过小组讨论：有什么办法得到这个结论。学生会提出度量、或拼图的方法，引导学生做小学做过的剪纸实验，并带领学生一起撕下三角形的任意两个角，拼在第三个角的顶点处。观察拼图结果，发现三个角拼在一起刚好是一个平角，总结出拼图方法，为下一环节说理证明作好准备，通过学生动手操作，把抽象知识形象化、具体化，把学生直接带入新课的学习，并让学生知道数学知识来源于实践，让他们感受到学习的乐趣，增加他们学习数学的信心. 已知:如图∠A，∠B，∠C是

△ABC的内角. 求证:∠A+∠B+∠C=180. 0

分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置，把

∠B移到了∠2的位置. 证明:作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB，则∠1=∠A(两直线平行，内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行，同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴

∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换). 在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线

PQ∥BC(如图)，他的想法可以吗? 请你帮小明把想法化为实际行动.

证明:过点A作PQ∥BC，则

∠1=∠B(两直线平行，内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行，内错角相等), 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴

∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换). 例题讲解：

例1．

如图，在△ABC中，

∠B＝38°，

∠C＝62°，AD是△ABC的角平分线，

求∠ADB的度数

解在△ABC中，

∠B+∠C +∠BAC=180°(三角形内角和定理)，

∵

∠B=38°，

∠C=62°（已知），

∴

∠BAC=180°-

38 °- 62°=80°（等式的性质）

∵AD平分∠BAC（已知），

∴

∠BAD=∠CAD =1/2 ∠BAC =40°(角平分线的定义)在△ADB中，

∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理)，

∵

∠B=38°（已知），

∠BAD=40°（已证），

∴∠ADB=180 °-

38°- 40°=102°（等式的性质）

做一做：

1、在△ABC中,∠A=35°，∠

B=43°，

则∠

C=

.

2、在△ABC中,∠C=90°，∠B=50°，则∠A =

. 3、在△ABC中, ∠A=40°，∠A=2∠B，则∠C =

. 解：1、1020

2、400

3、1200 4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线相交于点E，求∠AEB的度数．

解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°∴∠A+∠B=90°，

∵∠A、∠B的平分线相交于点E，

∴∠EAB+∠EBA= 11（∠A+∠B）=

×90°=45°，

22∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，

∴∠AEB=180°﹣（∠EAB+∠EBA）=180°﹣45°=135°

三、合作探究

探究2：

观察与思考：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

想一想：外角与相邻内角有什么特殊关系？

∠4+∠3=180°

想一想

1、每一个三角形有几个外角？ 2、每一个顶点处相对应的外角有几个？ 3、这些外角中有几个外角相等？ 解：1、一个三角形共有6个外角. 2、三角形每个顶点处各有两个外角(互为对顶角). 3、这些外角中有3对外角相等 证明：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

已知：如图，∠1是△ABC的一个外角. 求证：

∠1= ∠2+ ∠3

证明：∵

∠4 +∠2+ ∠3=180°（三角形内角和定理）

∴∠2+ ∠3= 180°-∠4 又∵

∠1+ ∠4= 180°

∴∠1 = 180°-∠4 ∴

∠ 1= ∠2+ ∠3 (等量代换) 证明：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

已知：如图，∠1是△ABC的一个外角. 求证：

∠1> ∠2, ∠1> ∠3

证明:∵ ∠1 =∠2+ ∠3

（三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和） ∴ ∠1> ∠2, ∠1> ∠3

像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论. 三角形内角和定理的推论

推论可以当作定理使用. 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

做一做：

1．已知：如图，在△ABC中，外角∠DCA=100°, ∠A=45°。

求：∠B和∠ACB的大小.

解:∵

∠DCA是△ABC的一个外角(已知), ∴

∠B= ∠DCA-∠A=100°-45°=55°

(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 又∵

∠DCA+∠BCA=180°

∴

∠ACB=80°(等式的性质). 例题讲解：

例2：已知：如右图,在△ABC中，

∠B= ∠C

，

AD平分外角∠EAC.

求证：AD∥BC.

分析：要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”, “内错角相等”或“同旁内角互补”.

证明:由证法1可得:∠DAC=∠C (已证) ∵

∠BAC+∠B+∠C =1800 (三角形内角和定理) ∴

∠BAC+∠B+∠DAC =1800 (等量代换) ∴

AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行) 这里是运用了定理“同旁内角互补，两直线平行”得到了证实. 例3：已知：如图，

P是△ABC内一点，连接PB，PC.

求证：∠BPC＞∠

A

证明：如图，延长BP，交AC于点D. ∵

∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义），

∴

∠BPC＞∠

PDC （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）. ∵

∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义），

∴

∠PDC＞∠

A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）. ∴∠BPC＞∠

A．

四、小结

通过本节课的内容，你有哪些收获？

1、三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于180 0

2、推论1：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2：

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 五、达标测评

1．△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，则∠C的度数是（

）

A．40° B．50° C．60° D．70°

解：C 2．如图所示，AD、BC相交于O点，若∠A=35°，∠B=56°，∠D=46°，则∠C的度数是（

）

A．31°

B．45°

C．41°

D．55°

解：B 3．如图，若△ABC的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E，则图中与∠ICE一定相等的角（不包括它本身）有（

）个．

A．1

B．2

C．3

D．4

解：B 4．三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比另一个角大20°，则此三角形的最小角等于（

）．

解：40°

5．如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC，

EF∥CD交AB于F，

求∠DEF的度数

解：∵△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，

∴∠ACB=50°，

∵CD是∠ACB的平分线，

∴∠DCB=25°，

∵EF∥CD，

∴∠FEB=25°，

∵DE⊥BC，

∴∠DEF的度数为：90°﹣25°=65°．

六、拓展延伸

1．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，若∠EBC=32°，∠AEB=70°．

若点F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，

求∠BEF的度数．

解：分两种情况：

①当∠EFC=90°时，如图1所示：

则∠BFE=90°，

∴∠BEF=90°﹣∠EBC=90°﹣32°=58°；

②当∠FEC=90°时，如图2所示：

则∠EFC=90°﹣38°=52°，

∴∠BEF=∠EFC﹣∠EBC=52°﹣32°=20°；

综上所述：∠BEF的度数为58°或20°．

七、布置作业

教材配套练习册 习题14.2（1）.