7.1 正切教案教学设计导入设计

“7.1锐角三角函数--正切”教学设计

项丹

一、教学内容解析

教学内容

江苏凤凰科学技术出版社教材九年级下册第七章锐角三角函数 7.1 正切

教学内容的地位和作用

本节课内容是有关“正切”的概念课，与以前学过的一次函数、二次函数及反比例函数有所不同，它揭示的是角度与数值（线段比值）的对应关系，且首次用符号来表示一种函数. 锐角三角函数是函数知识的推广和延伸，也是对直角三角形各元素之间关系的进一步探究，正切函数概念的建立是这节课的重点和难点，也将为以后继续学习三角函数奠定必要的基础.

二、教学目标设置

1.知识与技能

（1）理解正切、坡度的概念，正切与坡度的关系；

（2）掌握正切的表示方法，并能运用正切、坡度解决问题. 2.过程与方法

让学生经历多次猜想、验证，在不断的否定与肯定的过程中，探究如何描述坡面的倾斜程度，培养学生理性思维习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感、态度与价值观

经历正切概念的探索过程，体会从生活中的问题抽象出数学模型的建模思想、数形结合的重要性、体验角度和数值一一对应的函数思想，培养学生的符号意识.体会正切在生活中的应用. 教学重点：正切概念的探究

教学难点：

1.在正切概念的探究过程中，如何想到利用直角三角形的对边与邻边的比来描述坡面的倾斜程度以及把比值和角度联系起来；

2.理解正切的概念. 教学准备

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三、学生学情分析

在此之前学生已经学习过函数的定义和相似三角形，具备了学习锐角三角函数的知识基础；九年级上学期的学生已经具有一定的空间观念、想象力、几何语言表达能力以及逻辑推理能力.学生已有的知识、经验、能力和思想方法为新的认知活动提供了必要的基础和条件.

四、教学过程

（一）创设情境、引入新知

欣赏一组图片

人们在行走的过程中，自行车、汽车在行驶的过程中免不了爬坡.你有没有想过：怎样描述坡面的坡度（倾斜程度）呢？下面我们一起来探究.

设计意图：通过实际问题，创设情境，将实际问题抽象成数学问题，让学生体会建模的思想. （二）合作交流、探究新知

问题1：如下图，哪个台阶更陡？你是如何判断的？

设计意图：学生对亲身经历的事情有体验，更愿意积极投入去探究新知.

针对学生的回答教师点评并总结：坡角可以用来描述坡面的倾斜程度.

问题2：（1）哪个台阶更陡？你有什么发现？

问题2 （2）哪个台阶更陡？你有什么发现？

设计意图：让学生意识到坡面的倾斜程度与水平长度以及铅直高度都有关系，从而引发进一步思考。

问题3 在问题2中的①、③两个台阶，你认为哪个台阶更陡？你有什么发现？

设计意图：引发学生的争论，激发学生的求知欲．从而教师可提出能否用铅直高度与水平长度的比值进行衡量呢？引出正切定义。

正切定义：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们斜边

把锐角A的对边与邻边的比叫做

A的对边a∠A的正切，记作tan A，即tan A= A的邻边b

注意：正切的定义是在直角三角形中，相对其锐角而定义的，实质是两条线段长度的比，它只是一个数值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与三角形的大小无关．

类似地，你认为∠B的正切该如何表示？

设计意图：趁热打铁，让学生表示出∠B的正切，有利于学生深入认识正切的定义，初步实现教学目标.

辨一辨：

1.如图 (1) 2.

如图 (2) tanA

B

BCCAB （ ） （1）

A

tanABCB AB （ ） 5m 3.如图（2）tanB=2m A 10m (2) C

4. 如图（2）tanA=-0.5 ( )

设计意图：通过完成辨析题，学生进一步注意正切的易错点，注意点，再次巩固正切定义，加深印象，从而突破难点。

（三）题组训练、巩固新知

例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，求tanA,tanB．

解:由勾股定理得：BC=3

思考：tanA和tanB的值有什么样的关系？如右图tanA＝样的关系？

学生总结：

当两个互余锐角的正切互为倒数。即：若∠A+∠B=90°，则有tanA·tanB＝1 设计意图：由题目的结果，让学生自己找出三角函数中的相互关系。而不是教师直接的灌输。

练一练

1.求图中各直角三角形锐角的正切值。

B B1

7 5 A 1 C1

A 12 C 5 （1）

（2）

设计意图：巩固正切的概念，进一步落实教学目标，完善解题过程.

变式：在图（1）边AB上找任意2点B1,B2,过B1,B2作B1C1⊥AC，B2C2⊥AC，那么ab和tanB＝又有怎baBC3AC4AC4tanBBC3tanAB1C1B2C2相等吗？

和AC1AC2

引导学生独立证明：易知，BC∥B1C1∥B2C2，

∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2

BCB1C1B2C2

ACAC1AC2因此，在这些直角三角形中，∠A的对边与邻边的比值是一个固定值．

也就是说，如果直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与邻边的比值也确定

设计意图：通过相似得出直角三角形中的边、角关系，从而变换角度继续探讨，符合学生的认知规律.此时学生的思维豁然开朗，同时培养了学生思维的深刻性. 学生经历“操作—猜测—论证—归纳”的自我体验过程，达到教学目标，培养了学生发现问题、解决问题的能力．

例2 如图，在等边三角形ABC中，求tanA． C

A B 设计意图：学生小组讨论，团结协作，借助等边三角形的特殊性，再利用正切概念自主求出∠A的正切值，发现60°角的正切值。再结合图形进行探索，获得30°角的正切值，为后面学习“7.3 特殊角的三角函数”做好铺垫。

练一练

2.求45°角的正切值。

设计意图：由例1、2的学习，学生对正切的概念已有了进一步认识，模仿例2，自主构造等腰直角三角形，发散思维，提高创造性，同时也为后面学习“7.3 特殊角的三角函数”做好铺垫。

【巩固拓展】

1.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，AC=6，D是AC上一点，若

1tan∠DBC= , 3求CD, AD的长度； C

D

A B

42.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanB=，求AC的值．

3A

B C

3．如果方程x24x30的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为_______________．

设计意图：练习题1、2是对基础知识的训练. 练习3在对基础知识巩固的同时，发展了学生的思维能力，使思维进一步缜密，认识进一步深化.

（四）总结反思、强化新知

一节课下来：

1.你学习了什么知识？

2.你掌握了什么方法？

3.你还有什么想法和疑惑？

学生自主小结，在相互的交流中，感知本节课学习的体会和收获。可能在讨论中会存在一些困惑。此时，教师及时点拨，合作完成课堂小结。

设计意图：体现教学的民主性，同时培养学生归纳、概括问题的能力和团队合作精神，教师适当引导学生反思学习过程，增强信心，提高兴趣。