命题、定理、证明2特级教师教学实录

5.3.2命题、定理、证明

教学目标：

1、知识与技能：了解定理、公理的的概念，学习使用它们进行简单的推理证明

2、经历探索证明方法的过程，对综合证明、反证法、举反例法有初步的了解. 3、初步培养学生将生活语言转化为几何语言的能力、初步培养学生初步的逻辑思维能力

重点：证明的方法与过程. 难点：格式化几何证明语言

教学方法：用“类比法”探讨

教学过程：

一、复习导入

教师出示下列问题：

1.什么是命题？它在结构上分为哪几部分? 2.命题常可以写成

（什么形式）

3.什么是真命题，什么是假命题？

学生能积极的思考教师所出示的各个问题复习巩固有关的知识点为本节课的学习打下良好的基础.(注意:平行线的判定方法三种,另外还有平行公理的推论) 教师给出下列语句,要求学生说出它是真命题，还是假命题？你是如何知道的？

1“两点确定一条直线”

归纳得出：有的命题是大家公认的事实，这样的命题全是真命题，又叫公理

2“内错角相等，两直线平行。”

归纳得出：有的命题是被证明了的真命题，又叫定理

3、“只有符号不同的两个数是相反数。”

归纳得出：定义也是真命题

象公理、定理、定义等已知的真命题是可以作为数学推理证明的依据的

二、创设情境一

尝试活动探索新知——故事“县官断案”

一天早上，李老汉来到衙门里告状说：张三刚刚在他地里偷捌了一袋子玉米。吕县令立即派衙役将张三拘捕到县衙审讯: 吕县令问李老汉：“你怎知是张三偷了你的玉米?”

“因为早上我发现张三从玉米地那边过来，把一袋东西背回家，还发现我地里的玉米被人捌了，我知道张三家没有种玉米。

所以我家玉米肯定是张三捌的。”

讨论：

1、李老汉想证明什么？他是怎么证明的？

2、根据李老汉的证明，你能断定玉米是张三偷的吗？你觉得有疑点吗？

归纳：这种从已知条件出发（列出理由），推断出结论的证明方法，叫综合法

综合法是最常用的证明方法

用综合法证明时，

1、所列的条件必须是已知真实的、充分的；

2、推理的依据必须可靠。

证明才是有效的。

讲解：

证明的形式： “因为……（理由/条件）根据……（定理/定义）

所以……（结论）”

深入探索：

下列证明可是有效可靠的吗？

1、

因为：∠A=∠B，

所以：∠A与∠B是对顶角

2、

因为：∠A与∠B是对顶角

所以：∠A=∠B 3、

如下图中所示：

因为：∠A与∠B是对顶角

所以：∠A=∠B，

①这个证明，条件是不充分的，且没有依据，所以是无效的

②这个证明条件是充分的，推理的依据是已知的定理，所以是有效、正确的。

③这个证明的条件是不真实的，不是已知的，所以证明是无效的、不正确的。

小结：学生由教师的引导分析得出：

正确的数学推理，必须建立在这样的基础上：

①真实充分的已知条件下。

②用定理、公理或定义作为得出判断的依据。

例1：已知：如图b//c，a ⊥b，求证a ⊥c

证明：

∵a ⊥b，

∴∠1=90（垂直的定义）

又∵b//c（已知）

∴∠1=∠2（两直线平行同位角相等）

∴∠2=∠1=90（等量代换），

∴a ⊥c（垂直的定义）

讲解：

证明的过程：可分成若干个小步，逐步完成的。每一步都要有定理或定义保证其正确性.

三、情境二：

县官一时拿不定主意，就问旁边的县丞道：“师爷，你怎么看？”

县丞说“这事要证明是张三干的，还得弄清那袋子里装的是不是刚捌的玉米，还要看看地里的脚印是不是张三的，才行。

如果袋子里装的是刚捌的玉米，且地里的脚印是张三的，那就一定是他偷的。”

讲解：

像这样：从结论出发，逆着寻找所需要的条件的思考过程，叫分析。在分析的过程中，如果发现所需要的条件，都已具备或可从已知条件中推得。那么证明就很容易了。

例2：如图，∠1=∠2，试说明直线AB，CD平行？．

分析：

要证明AB，CD平行，就需要同位角相等的条件，图中∠1与∠3 就是同位角。

我们只要找到：能说明它俩相等的条件就行了。

从图中，我们可以发现：∠2与∠3是对顶角，所以∠3=∠2 这样我们找到了∠1与∠3相等的确切条件了。

文字证明： 几何符号表示的证明：

因为∠2与∠3是对顶角， ∵∠2与∠3是对顶角 所以∠3=∠2 ∴∠3=∠2 又因为∠1=∠2， 又∵∠1=∠2

所以∠1=∠3， ∴∠1=∠3

且∠1与∠3是同位角， ∴AB∥CD

所以：AB与CD平行。

四、

情境三：

“大胆张三！从实招来！”

“冤枉啊！大老爷，小人要是偷他的玉米，就不会白天去偷，要是我进他地里去，鞋上就会沾上露水的，可现在你看。你看我鞋上一丁点露水都没有。况且你们也没有验看袋子里的东西呢。”

讨论：这

张三想证明：自己没有偷李老汉的玉米。但是他却

先假定自己偷了玉米。

它最终想说的是什么？它的这种证明方法有效吗？

归纳讲解：这种先假定某结论的反面成立，再由这种假定的结论，推出矛盾，从而否定这个假设的方法，叫做反证法。反证法也是常用的证明方法

例3：前面的例1也可以用反证法证明:( 试让学生完成）

证明：

假定：a不垂直于c 则∠2≠90°

那么∠1≠∠2 则：b与c不平行

这与已知条件b∥c相矛盾

所以假设是错误的

a 一定垂直于c

归纳：

证明一个命题是真命题的方法有: 1、从已知条件出发一步步证明的方法——综合法。

2、先假定结论的反面成立，再推出矛盾的方法——反证法。

讲解：证明一个命题是假命题的方法——举反例法

举出一个满足命题的题设，但不满足命题的结论的例子，就可以说明命题是假命题。

练习：

举反例证明下列命题是假命题

1、两个锐角的和是锐角

反例：70°和50°的两个锐角的和是120°是钝角。

2、有理数的绝对值大于它本身

反例：有理数5的绝对值等于它本身。

五、课堂小结

证明就是由推理与判断的过程。

正确的数学证明，必须建立在：“真实充分的已知条件以及可靠的依据（定理、公理或定义）”的基础上。

证明一个命题是真命题的方法有: 1、从已知条件出发以公理、定理、定义作为依据，一步一步得出结论的方法——综合法。（证明之前要进行分析) 2、先假定结论的反面成立，再推出矛盾的方法——反证法。

证明一个命题是假命题的方法：

举反例法

六、布置作业：

A

B

D

C

1、如图：∠

A＋∠B=180°，求证：∠

C＋∠D=180°

2、“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例。