正方形的判定优秀课堂实录

第2课时

正方形的判定

1．掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题．(重难点) 2．发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断．

阅读教材P22～24，完成下列问题：

(一)知识探究

1．对角线相等的________是正方形．

2．对角线垂直的________是正方形．

3．有一个是直角的________是正方形．

(二)自学反馈

1．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(

)

A．∠D＝90°

B．AB＝CD

C．AD＝BC

D．BC＝CD 2．下列命题正确的是(

)

A．两条对角线相等的菱形是正方形

B．对角线与一边的夹角是45°的四边形是正方形

C．两邻角相等，且有一角是直角的四边形是正方形

D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(

)

A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD

B．AD∥BC，∠A＝∠C

C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD

D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC 4．如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F.则四边形ABEF是________形．

活动1

小组讨论

例

如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．

证明：∵BF∥CE，CF∥BE，

∴四边形BECF是平行四边形．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°. 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，

∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°. ∴∠EBC＝∠ECB. ∴EB＝EC. ∴平行四边形BECF是菱形．

在△EBC中，

∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，

∴∠BEC＝90°. ∴菱形BECF是正方形．

掌握平行四边形、矩形、菱形成为正方形所需要的条件是解决这类问题的关键．

活动2

跟踪训练

1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：四边形BEDF是正方形．

2．如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CG＝DH，四边形EFGH是什么图形？证明你的结论．

3．如图所示，点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．

活动3

课堂小结

1．对角线相等的菱形是正方形；

2．对角线垂直的矩形是正方形；

3．有一个角是直角的菱形是正方形．

【预习导学】

(一)知识探究

1．菱形

2.矩形

3.菱形

(二)自学反馈

1．D

2.A

3.C

4.正方

【合作探究】

活动2

跟踪训练

1．证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB，∴四边形BEDF是矩形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF.∴四边形BEDF是正方形．

2．四边形EFGH是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴HA＝EB＝FC＝GD.∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴Rt△AEH≌Rt△BFE≌Rt△CGF≌Rt△DHG.∴HE＝EF＝FG＝GH.∴四边形EFGH是菱形．又∠AHE＝∠BEF，∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°.∴∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是正方形．

3．证明：连接BD.∵点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点，∴EF是△BCD的中位线，GH是△ABD的中位线．∴EF∥BD，EF＝BD，GH∥BD，GH＝BD.∴EF∥GH，EF＝GH.∴四边形EFGH是平行四边形．