一元二次方程的根的判别式教学设计与反思

课题：一元二次方程的根的判别式

课型：新授课

年级：九年级

授课教师：南湖中心校

游珍珍

教学目标：

1.

知识与技能：从具体到一般，掌握一元二次方程根的判别式的意义，并能用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，解决具体题目；

2.过程与方法：经历思考、合作、探究的过程，体会分类讨论和转化的数学思维，培养归纳总结的能力；

3.情感态度与价值观：通过对问题的思考与探究，对数学产生好奇心和求知欲，养成独立思考、合作交流的习惯。

教学重点与难点：

重点：b-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；b-4ac=0一元二次方程22有两个相等的实数根；b2-4ac<0一元二次方程没有实根。

难点：一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）根的判别式与根的情况的关系推导过程2及具体应用。

教学过程: 一、创设情境

1.（学生活动）用公式法解下列方程。

（1）2x2-3x=0

（2）x2+4=4x

（3）x2+x+1=0 处理方式：学生板演，老师点评。

提出问题：教师引导学生思考方程根情况不同的原因，尝试提出下列问题：一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？（板书课题，出示学习目标）

二、合作探究

1.分析上述方程的解答过程，观察方程根的情况与b2-4ac的关系，并思考：

（1）一般的，对于一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)， 它何时有两个相等的实数根？

何时有两个不相等的实数根？

何时无实数根？

（2）为什么说方程根的情况是由b2-4ac 决定的？

2.师生合作，归纳提升：

2

分析问题1：对于上述三个方程：

（1）b2-4ac=9>0，•有两个不相等的实根；

（2）b2-4ac=0，有两个相等的实根；

（3）b2-4ac=-3<0，方程无实根

分析问题2：现在我们从求根公式的角度来分析：

bb24ac

求根公式：x=，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，b24ac2abb24acbb24ac等于一个实数，一元一次方程的x1=≠x2=，即有两2a2a个不相等的实根；当b2-4ac=0时，根据平方根的意义b24ac=0，所以b，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没2a有平方根，所以无实根。

x1=x2=设计意图：检验学生对于公式法的利用情况是否熟练，同时进一步巩固一元二次方程根的判别式的意义及作用。

3.师生共同得出结论：

由上面的讨论可见，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2-4ac来决定。因此，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。通常用符号“Δ”（希腊字母）来表示。

结论1：一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；

当Δ＝0时，有两个相等的实数根；

当Δ＜0时，没有实数根。

4.思维延伸

你能分别说出结论1的逆命题吗？（屏幕显示结论1）。学生思考交流并判断逆命题的真假性。教师指出：这三个命题也是真命题，从而得到：

结论2：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，

当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；

当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；

当方程没有实数根时，Δ＜0。

三、应用提升

例1．不解方程，判定方程根的情况

（1）2x2+8x=-3

（2）9x2+6x+1=0

（3）2x2-9x+8=0

学生思考并分析，教师引导学生明确解题思路，板书强调解题方法及格式：

（1）解：原方程可变形为

2x2+8x+3 =0 因为Δ＝82- 4×2×3=40＞0，

所以，原方程有两个不相等的实数根。

学生根据（1）小题的解题过程，总结判别一元二次方程的根的情况的步骤：

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac是针对一般形式而言的，所以，不解方程，判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为：

一化（将一元二次方程化为一般形式）；

二算（确定a、b、c的值，算出Δ的值）；

三判断（根据结论1判别方程根的情况）。

（2）（3）小题由学生完成，教师巡视并及时点评。

例题2 已知关于x的方程x2－4x + m = 0，问m取何值时，这个方程有两个相等的实数根? 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ= 0，

即 (－4)2－ 4m = 0, 解得m=4，

∴ m=4时，方程有两个相等的实数根。

变式训练：已知关于x的方程x2－4x +m = 0，问m取何值时，这个方程有两个实数根? 解：∵方程有两个实数根，

∴Δ≥0，

即 (－4)2－ 4m ≥ 0, 解得m ≤4，

∴m≤4时，方程有两个相等的实数根。

四、课堂检测

1. 对于一元二次方程6x2+1=7x,其中，a=

,b=

,c=

,b2-4ac=

, 所以方程的根的情况是

。

2. 关于x的一元二次方则m的取值范围为

m≥0且m≠1 五、引导反思

总结归纳

通过本节学习，你有哪些收获？

一般的，一元二次方ax2+bx+c=0(a≠0) 当Δ＞0时 有两个不相等的实数根

当Δ＝0时 有两个相等的实数根

当Δ＜0时 没有实数根

当Δ≥0时 有两个实数根

六、布置作业，落实目标

习题2.5第2题 七、教学反思

本节课的教学目标以及教学重难点从学生的实际出发，课堂上注重对学生程有两个实数根， 思考能力、转化思维的培养，让学生养成独立思考和合作交流的习惯。学生能够发挥主观能动性，积极投入到新知识的学习过程中。本节课的学习目标基本达成，教学效果较好。但部分同学对于计算的速度以及正确率仍然欠缺，课后需要加强这方面的巩固练习。