总复习教案设计范例

线段的最值问题

吉安四中

杨文婷

教学内容解析：

为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题. 初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节内容是在学生学***移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”的问题.从中让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”等知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。

教学目标：

【知识技能】利用两点之间线段最短和轴对称变换解决有关线段的最值问题

【过程与方法】培养学生的探究、归纳、分析、解决问题的能力。

【情感与态度】进一步培养好奇心和探究心理，更进一步体会到数学知识在生活中

重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 难点：在实际题目中会运用最短路径模型灵活解决问题。

【教学关键】

运用好数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质性质入手，获得求线段之和最短问题的直观形象，以便准确理解本节课的内容。

【教学策略】利用教学资源，通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，组织好合作学习，并对合作过程进行引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展。

【学法指导】：自主学习，小组合作、交流探究

教学

环节

教学过程

1.回顾你初中数学学习中最值问题有哪些? （1) 线段的最大最小值 （2）面积的最值

（3）利润最值

设计意图

这是本节课要用到的一些知识，设计知知

识

回

顾

（4）二次函数的顶点

2.解决最值问题用到知识点及方法是什么？

识的最近发（1)应用两点间线段最短的公理求最值； 展区，为本（2）应用垂线段最短的性质求最值；

节课的内容（3）应用轴对称的性质求最短路径

作好铺垫，（4）函数求最值；

分散难点.

模型一

(“将军饮马”问题) 在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马，然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？在图2中呢？1、 源数学来于生活．通过生活中的例子，激发学生好奇心和强烈的求知欲，让学生在生动具体的情境中学

图1 图2 习数学．

通过这两个例子，唤醒学生对轴对称和线段性质的确认，并且发展学生的观察力与语言表述能力．

问

题

探

究

一

例1、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC

合作交流探究方法

如果把这道题看成“将军饮马”的问题，你觉得图中哪条线段可以看成河流，哪两个点可以看成A和B呢？

模型二

如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水，

最后回到驻地A问：这位将军怎样走路程最短？

通过生活实例的解决，让学生感受数学和生活的联系问题探究

二

及数学在生活中的重要性，充分体现数学来源

于生活又还原于生[想一想]

上的一动点，DN+MN的最小值为

．

活．让学生多角度、全方位发挥其思维的深度和广度．

如图，∠AOB=45。，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，培养学生R，求△PQR周长的最小值。

合作交流O探究方法

B 思维的灵活性；引导学生学会归纳总结，以达到解一题从而解决一类问题的目的，提高学习效率，减轻学习负担

1．如图8，MN是⊙O的直径，MN=2，点

A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB的最小值为

．

小

组合作交流，借助学生对问题的解决，唤醒学生对轴

对称和线段性质的确认，体验了“发现”知识的快乐，变被动接受为主动探究．有助于方法的解决，并且发展学生的观察力与语言

表述能力．

2、如图所示，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于

A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是______．

课本节课复习的求最值的问题依据是什么？

堂

解决此类问题的关键是什么？

小

结

1.根据“两点之间线段最短”，通过作轴对称点求线段之和最小值；

，

感2.数学思想：转化思想、数形结合思想和建模思想。

悟

反思

如图，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B.抛物线y＝a(x－2)2＋k经过A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P. (1)求a，k的值；

(2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小？若存在，求△ABM的周长；若不存在，请说明理由．

在此活动中，教师应重点关注：（1）不同学生总结知识的程度和能力；（2）对练习中反馈的信息及时处理．

课后巩固

让学生及时巩固课堂所学知识，检验学生学习情况.

1、在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°， D是BC边的中点，E是AB上的一个动点，则EC＋ED的最小值是______.

2、如图，在矩形ABCD中，BC＝10，CD＝5.若点M，N分别是线段BD，BC上的两个动点，则CM＋MN的最小值为___ 课后

作_业

3、如图，点A(m，2)，B(n，2)分别是反比例函数y＝－4x，y＝2x在x轴上方的图象上的点，点P是x轴上的动点，则PA＋PB的最小值为____．