2.2.1 直线的参数方程教学创新设计

教学课题

直线的参数方程

㈠教学目标

①知识与技能

了解直线的参数方程的条件及参数的几何意义

②过程与方法

能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程及参数的几何意义，并能利用直线的标准参数方程解决直线与二次曲线的弦长等问题

③情感态度与价值观

通过学生的参与过程，培养他们手脑并用，多思勤练的良好学习习惯和勇于探索，锲而不舍的治学精神

㈡教学重点

直线的参数方程

㈢教学难点

直线的参数方程的应用

㈣教法和学法

在“老师为主导，学生为主体”的理论指导下，主要采取探究式教学方法。即“问题引导……启发讨论……探索结果”以及“直观观察……归纳抽象……总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引，思，探，练”的结合。引导学生学习方式发生转变，通过小组合作学习，采用激发兴趣，主动参与，积极体验，团结合作，自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围，要充分调动学生的学习热情和专研的积极性，为学生提供自主学习的时间和空间。在教学过程中注重引导，充分发挥学生的主观能动性，着眼于学生创造性思维的培养和思维能力的提高。

㈤教具 多媒体辅助教学

㈥教学过程

复习：

⒈直线的倾斜角和斜率

⒉直线的表示形式

新课探究

1．直线的参数方程

(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为

x＝x0＋lt

(t为参数t∈R)

y＝y0＋mt参数的几何意义

直线的参数方程中参数t的几何意义是：

参数t的绝对值表示参数t对应的点到定

1

点M0(x0，y0)的距离

．

当与e(直线的单位方向向量)同向时，t取

正数

；当与e反向时，t取

负数

；当点M与点M0重合时，t为

零

．

(2)设直线过点M0(x0，y0)，且与平面向量a＝(l，m)平行或称直线与a共线(其中l，m都不为0)，在直线上任取一点M(x，y)，则向量

与

a

共线，即

∥

a．由向量x－x0y－y0共线的充分必要条件以及＝(x－x0，y－y0)，可得l＝m.记上式的比值为t，整x＝x0＋lt理后得：

t∈R y＝y0＋mt知识点1

直线的参数方程

x＝x0＋tcos α直线的参数方程

(α为参数)中，α，x0，y0都是常数，对于同一直线，y＝y＋tsin α0选取的参数不同，会得到不同的参数方程．对于直线普通方程y＝2x＋1，如果令xx＝tt＝t，可得到参数方程

(t为参数)；如果令x＝2，可得到参数方程y＝2t＋1tx＝2y＝t＋1

(t为参数)．

这样的参数方程中的t不具有一定的几何意义，但是在实际应用中有时能够简化某些运算．例如，动点M做匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，点M从A点(1,1)开始运动，求点M的轨迹的参数方程．点M的轨迹的参数方x＝1＋9t，程可以直接写为

(t为参数)．y＝1＋12t

2x＝－4＋2t【例1】

设直线的参数方程为2y＝2t

(t为参数)，

点P在直线上，且与点M0(－4,0)的距离为2，若该直线的参数方程改写成

2

x＝－4＋t

(t为参数)，则在这个方程中点P对应的t值为________．

y＝t

【反思感悟】

直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的几何意义，本题正是使用了其几何意义，简化了运算，这也正是直线参数方程标准式的优越性所在．

π1．直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为3，且交直线x－y－2＝0于M点，则|MM0|＝________. 1x＝1＋2t解析：由题意可得直线l的参数方程为3y＝5＋2t

(t为参数)，代入直线方13程x－y－2＝0，得1＋2t－5＋t－2＝0，解得t＝－6(3＋1)．

2根据t的几何意义可知|MM0|＝6(3＋1)．

π【例2】

已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝6，

(1)写出直线l的参数方程；

(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．

3x＝1＋2t解：(1)直线的参数方程是1y＝1＋2t

(t是参数)．

(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B3131的坐标分别为A1＋t1，1＋t1，B1＋t2，1＋t2. 2222以直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4，

3

整理得到t2＋(3＋1)t－2＝0.① 因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.

【反思感悟】

本题P到A，B两点的距离就是参数方程中t的两个值，可以充分利用参数的几何意义．

变式迁移

3x＝－3＋2t2．已知直线l：1y＝2＋2t

(t为参数)．

(1)分别求t＝0,2，－2时对应的点M(x，y)；(2)求直线l的倾斜角；

(3)求直线l上的点M(－33，0)对应的参数t，并说明t的几何意义．

3x＝－3＋2t解：(1)由直线l：1y＝2＋2t

(t为参数)知当t＝0,2，－2时，分别对应直线l上的点(－3，2)，(0,3)，(－23，1)．

3x＝－3＋2t(2)法一：化直线l：1y＝2＋2t33)，其中k＝tan α＝3，0≤α<π.

π∴直线l的倾斜角α＝6. πx＝－3＋tcos6法二：由于直线l：πy＝2＋tsin6

3(t为参数)为普通方程为y－2＝3(x＋

(t为参数)，

4

ππ这是过点M0(－3，2)，且倾斜角α＝6的直线，故6为所求

(3)由上述可知直线l的单位方向向量为

ππ31e＝(cos6，sin6)＝(2，2)．∵M0(－3，2)，M(－33，0)，

31∴M0M＝(－23，－2)＝－4(2，2)＝－4e，∴点M对应的参数t＝－4，几何意义为|M0M|＝4，且M0M与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方)．

知识点2

直线的参数方程的应用

利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便．

10作倾斜角为α的直线与曲线x2＋12y2＝1交于点M，N，求【例3】

过点P，02|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值．

10x＝2＋tcos α解：设直线为y＝tsin α

(t为参数)，

3代入曲线并整理得(1＋11sin2α)t2＋(10cos α)t＋2＝0. 322则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝2.

所以当sin

α＝1时，

1＋11sin

απ1π即α＝2，|PM|·|PN|的最小值为8，此时α＝2. 【反思感悟】

利用直线的参数方程中参数的几何意义，将最值问题转化为三角函数的值域，利用三角函数的有界性解决．

变式迁移

π3．写出经过点P(1，－5)，倾斜角是3的直线参数方程，并利用这个参数方程求这条直线与直线x－y－23＝0的交点与点P的距离，再求这条直线和圆x2＋y2＝16的两个交点与点P的距离之积．

5

πx＝1＋tcos 3，解：直线的参数方程为πy＝－5＋tsin 3，将①代入直线方程x－y－23＝0，

1x＝1＋2t，即3y＝－5＋2t.

①

13得1＋2t＋5－2t－23＝0，解得t＝43. 根据直线参数方程中参数t的几何意义知两条直线的交点与P点的距离为43. 又将①代入圆的方程x2＋y2＝16，

13得1＋2t2＋－5＋t2＝16，即t2＋(1－53)t＋10＝0，则t1＋t2＝53－1，

2t1·t2＝10(t1，t2为关于t的一元二次方程的两根)，从而直线和圆的两交点与点P的距离之积为10. 巩固训练

x＝1＋t1．求直线l1：

(t为参数)和直线l2：x－y－23＝0 y＝－5＋3t的交点P的坐标，及点P与Q(1，－5)的距离．

x＝1＋t解法一：将，代入x－y－23＝0，得t＝23，

y＝－5＋3t∴P(1＋23，1)，而Q(1，－5)，得|PQ|＝232＋62＝43

πx＝1＋tcos 3，

解法二.：直线的参数方程为πy＝－5＋tsin 3，将①代入直线方程x－y－23＝0，

13得1＋2t＋5－2t－23＝0，解得t＝43.

1x＝1＋2t，即3y＝－5＋2t.

①

根据直线参数方程中参数t的几何意义知两条直线的交点与P点的距离为43.

6

x＝－1＋3t2．已知直线的参数方程为

(t为参数)，它与曲线

y＝2－4t(y－2)2－x2＝1交于A，B两点．

(1)求|AB|的长；(2)求点P(－1,2)到线段AB中点C的距离．

分析：本题主要考查直线参数方程以及直线与曲线的位置关系．首先把直线的参数方程代入曲线方程，可以得到关于参数t的二次方程，根据参数的有关意义可以解决此问题．

.

课堂小结：

x＝x0＋tcos α直线

(t为参数)与曲线y＝f(x)交于M1，M2两点，对应的参数y＝y0＋tsin α分别为t1，t2. (1)曲线的弦M1M2的长是多少？

(2)线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？

(3)你还能提出和解决哪些问题？

提示：(1)弦M1M2的长|M1M2|＝|t1－t2|. t1＋t2(2)线段M1M2的中点M对应的参数t＝2

(3)一些线段长度、距离问题都可以利用参数t的几何意义解决．

【规律方法总结】

x＝x0＋tcos α1．利用直线的参数方程

(α为参数)中参数的几

y＝y0＋tsin α何意义，在解决直线与曲线交点问题时，可以方便地求出相应的距离．

2．直线的参数方程有不同的形式，可以允许参数t没有明显的

几何意义，在直线与圆锥曲线的问题中，利用参数方程有时可以简化计算．

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