1.3 曲线的极坐标方程特级教师教学实录

_1.3曲线的极坐标方程

[读教材·填要点]

1．曲线的极坐标方程

在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0.如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有的点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．

2．直线的极坐标方程

(1)当直线l过极点，从极轴到l的角是θ0，则l的方程为θ＝θ0. (2)当直线l过点M(d,0)且垂直于极轴时，l的方程为ρcos θ＝d. π(3)当直线l过点M(d，2)，且平行于极轴时，l的方程为ρsin_θ＝d. (4)极点到直线l的距离为d，极轴到过极点的直线l的垂线的角度为α，此时直线l的方程为ρcos_(α－θ)＝d. [小问题·大思维]

1．在直角坐标系中，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程．那么，在极坐标系中，曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？

提示：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如，给定曲线ρ＝θ，设点P的一ππ极坐标为4，4，那么点P适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个π9π极坐标4，4就不适合方程ρ＝θ了．所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可．

2．在直线的极坐标方程中，ρ的取值范围是什么？

提示：ρ的取值范围是全体实数．

极坐标方程与直角坐标方程的互化

[例1]

进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：

(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0；

θ1(3)ρcos22＝1；(4)ρ2cos 2θ＝4；(5)ρ＝. 2－cos θ[思路点拨]

本题考查极坐标与直角坐标的互化公式．

[精解详析]

(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，

得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得ρsin2θ＝4cos θ. (2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋x2－2x－1＝0，

得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0. 化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.

1 / 7

θ(3)∵ρcos22＝1，

1＋cos θ∴ρ·2＝1，

即ρ＋ρcos θ＝2 ∴x2＋y2＋x＝2. 化简，得y2＝－4(x－1)．

(4)∵ρ2cos 2θ＝4，

∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，

即x2－y2＝4. 1(5)∵ρ＝，

2－cos θ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2x2＋y2－x＝1. 化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.

直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．

π1．求极坐标方程ρcosθ－6＝1所表示的直角坐标方程．

31π解：将ρcosθ－6＝1化为2ρcos θ＋2ρsin θ＝1. 3y将ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入上式，得2x＋2＝1，

即3x＋y－2＝0.

求曲线的极坐标方程

[例2]

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲π线C的极坐标方程为ρcosθ－3＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．

(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；

(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

[思路点拨]

(1)利用两角差余弦公式展开，结合互化公式可得直角坐标方程．

(2)先求出P点的直角坐标，再求出OP的极坐标方程．

2 / 7

π[精解详析]

(1)由ρcosθ－3＝1 13得ρcos θ＋sin θ＝1. 2213从而C的直角坐标方程为2x＋2y＝1，

即x＋3y＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．

π2323π当θ＝2时，ρ＝3，所以N，2. 3(2)∵M点的直角坐标为(2,0)，

23，

N点的直角坐标为0，33所以P点的直角坐标为1，. 3π23π，所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．

则P点的极坐标为，663

2．设M是定圆O内一定点，任作半径OA，连接MA，自M作MP⊥MA交OA于P，求P点的轨迹方程．

解：以O为极点，射线OM为极轴，建立极坐标系，如图．

设定圆O的半径为r，OM＝a，P(ρ，θ)是轨迹上任意一点．

∵MP⊥MA，∴|MA|2＋|MP|2＝|PA|2. 由余弦定理，可知|MA|2＝a2＋r2－2arcos θ，

|MP|2＝a2＋ρ2－2aρcos θ.而|PA|＝r－ρ，

由此可得a2＋r2－2arcos θ＋a2＋ρ2－2aρcos θ＝(r－ρ)2. aa－rcos θ整理化简，得ρ＝. acos θ－r

求直线的极坐标方程

[例3]

求出下列直线的极坐标方程：

(1)过定点M(ρ0，θ0)，且与极轴成α弧度的角；

(2)过定点M(ρ0，θ0)，且与直线θ＝θ0垂直．

[思路点拨]

本题考查直线的极坐标方程的求法．解答本题需要根据已知条件画出极坐标系，然后借助平面几何的知识建立ρ与θ间的关系．

[精解详析]

(1)设P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)，且记∠OPM＝∠1，∠OMP＝∠2，

3 / 7

则∠1＝α－θ，∠2＝π－(α－θ0)．

在△OMP中应用正弦定理得

ρρ0＝，

sin ∠2sin ∠1sinπ－∠2sinα－θ0即ρ＝ρ0·＝ρ0·. sin ∠1sinα－θ即直线方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．

(2)设P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图所示)，△OMP为直三角形，显然有ρcos (θ－θ0)＝ρ0.这就是所求直线方程．

求直线极坐标方程的步骤：

(1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标．

(2)写出动点满足的几何条件．

(3)把上述条件转化为ρ，θ的等式．

(4)化简整理．

π3π3，3．求过A3且和极轴所成角为4的直线方程．

π3，，

解：如图所示，A3

角π即|OA|＝3，∠AOB＝3.

设M(ρ，θ)为直线上任一点，

3π由已知得∠MBx＝4，

3ππ5π∴∠OAB＝4－3＝12. 5π7π3π∴∠OAM＝π－12＝12.∠OMA＝∠MBx－θ＝4－θ.在△MOA中，根据正弦定理，3ρ得＝7π. 3πsin4－θsin12

4 / 7

2＋67πππsin12＝sin4＋3＝4，

3π将sin4－θ展开，化简上面的方程，

333可得ρ(sin θ＋cos θ)＝2＋2. π3π∴过A3，3且和极轴所成角为4的直线方程为

333ρ(sin θ＋cos θ)＝2＋2.

一、选择题

21．极坐标方程cos θ＝2(ρ≥0)表示的曲线是(

) A．余弦曲线

B．两条相交直线

C．一条射线

D．两条射线

2π解析：选D

∵cos θ＝2，∴θ＝±4＋2kπ(k∈Z)．

2又∵ρ≥0，∴cos θ＝2表示两条射线．

2．在极坐标系中与曲线C：ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为(

) A．ρcos θ＝2

B．ρsin θ＝2 ππC．ρ＝4sinθ＋3

D．ρ＝4sinθ－3

解析：选A

ρ＝4sin θ的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，ρcos θ＝2的普通方程为x＝2，圆x2＋(y－2)2＝4与直线x＝2显然相切．

3．直线θ＝α和直线ρsin(θ－α)＝1的位置关系是(

) A．垂直

B．平行

C．相交但不垂直

D．重合

解析：选B

直线θ＝α化为直角坐标方程为y＝xtan α，ρsin(θ－α)＝1化为ρsin θcos 1α－ρcos θsin α＝1，即y＝xtan α＋cos α.所以两直线平行．

π4．过点A(5,0)和直线θ＝4垂直的直线的极坐标方程是(

) ππ52＋θA．ρsin4＝5

B．ρcos4＋θ＝2

π52π52C．ρsin4＋θ＝2

D．ρsin4－θ＝2



5 / 7

ππ解析：选C

直线θ＝4即直线y＝x，∴过点A(5,0)和直线θ＝4垂直的直线方程为π52y＝－x＋5，其极坐标方程为ρsin4＋θ＝2. 二、填空题

π5．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin θ＝3，则点2，6到直线l的距离为________．

π解析：将直线l的极坐标方程ρsin θ＝3化为直角坐标方程为y＝3，点2，6在直π2，角坐标系中为(3，1)，故点到直线l的距离为2. 6答案：2 π6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝4分成两部分的面积之比是________．

π解析：∵直线θ＝4过圆ρ＝4的圆心，∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1. 答案：1∶1 7．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．

解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，

其普通方程为x2＋y2＝2y. ρcos θ＝－1的普通方程为x＝－1. 22x＋y＝2y，x＝－1，联立解得

x＝－1，y＝1，3π点(－1,1)的极坐标为2，4. 3π答案：2，4

π8．在极坐标系中，定点A(1，2)，点B在直线l：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动．当线段AB最短时，点B的极坐标是________．

解析：将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x＋y＝0，点πA1，2化为直角坐标得A(0,1)．如图，过A作AB⊥直线l于B.因为△AOB为等腰直角三角形，又因为|OA|＝1，

23π23π则|OB|＝2，θ＝4，故B点的极坐标是B，. 4223π答案：，

42三、解答题

6 / 7

9．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程．

解：由题意知，直线的直角坐标方程为y－3＝2(x＋2)，

即2x－y＋7＝0. 设M(ρ，θ)为直线上任意一点，

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直角坐标方程

2x－y＋7＝0，得2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0. 这就是所求的极坐标方程．

10．在极坐标系中，曲线C：ρ＝10cos θ和直线l：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0相交于A，B两点，求线段|AB|的长．

解：分别将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程：

圆C：x2＋y2＝10x，即(x－5)2＋y2＝25，圆心C(5,0)．

直线l：3x－4y－30＝0. |15－0－30|因为圆心C到直线l的距离d＝＝3，

5所以|AB|＝225－d2＝8. 11．如图，点A在直线x＝4上移动，△OPA为等腰直角三角形，△OPA的顶角为∠OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状．

解：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝4的极坐标方程为ρcos θ＝4. 设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)．

∵点A在直线ρcos θ＝4上，

∴ρ0cos θ0＝4.①

π∵△OPA为等腰直角三角形，且∠OPA＝2，

π而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0，以及∠POA＝4，

π∴ρ0＝2ρ，且θ0＝θ－4.②

把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为

π2ρcosθ－4＝4. π由2ρcosθ－4＝4得ρ(cos θ＋sin θ)＝4. 3π∴点P轨迹的普通方程为x＋y＝4，是过点(4,0)且倾斜角为4的直线．

7 / 7