一元二次方程的解的估算优秀教案

第2课时

用估算法求一元二次方程的近似解

1．能根据实际问题求一元二次方程的近似解．

2．经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力．

3．进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，体验学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识．

重点

经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解．

难点

探索一元二次方程的近似解．

一、情境导入

教师：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：

(8－2x)(5－2x)＝18，即2x2－13x＋11＝0；

(x＋6)2＋72＝102，即x2＋12x－15＝0. 上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中x的值吗？这节课我们一起来研究一元二次方程的解．

二、探究新知

教师：对于前一节课第一个问题，你能设法估计四周末铺地毯部分的宽度x(m)吗？

课件出示一元二次方程(8－2x)(5－2x)＝18，提出问题：

(1)x可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由，并与同伴进行交流．

(2)根据题目的已知条件，你能确定x的大致范围吗？

(3)完成下表：

x 2x2－13x＋11 0

0.5

1

1.5

2

2.5

(4)你知道所求的宽度x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流．

分析：因为x表示的是所求的宽度，学生能意识到x不可能小于0；学生大多数能够从实际情况出发，意识到当x大于4或当x大于2.5时，将分别使地毯的长或宽小于0，不符合实际情况；学生在利用计算器对表格中的数据进行计算的过程中发现，当x＝1时，代数式2x2－13x＋11的值等于0；所求的宽度为1 m. 教师：在前一节课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x＋6)2＋72＝102，把这个方程化为一般形式为x2＋12x－15＝0. 引导学生思考以下问题：

(1)小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？为什么？

(2)底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？为什么？

(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？

(4)x的整数部分是几？十分位是几？

学生思考后指名回答，教师进一步讲解：

在此题中，梯子滑动的距离x＞0是显而易见的，在下图中，求得BC＝6 m，而BD＜10 m，因此CD＜4 m．所以x的取值范围是0＜x＜4.

学生完成下面的表格：

x 0 1 2 3 4

13 30 49 x2＋12x－15 －15 －2

教师：没能在这些整数取值中找到方程的解，但却通过表格分析发现，当x的取值是1和2时，所对应代数式的值是－2和13，而且随着x的取值越大，相应代数式的值也越大．因此若想使代数式的值为0，那么x的取值应在1和2之间．从而确定x的整数部分是1. 教师启发引导学生在1和2之间继续找方程的解．

学生可能有以下的做法．

甲同学的做法：

x x2＋12x－15

所以1＜x＜1.5. 进一步计算：

x x2＋12x－15 1.1 －0.59 1.2 0.84 1.3 2.29 1.4

3.76 1 －2 1.5 5.25 2

13

所以1.1＜x＜1.2. 因此x的整数部分是1，十分位是1. 乙同学的做法：

x x2＋12x－15 1.1 －0.59 1.2 0.84 1.3 2.29 1.4 3.76 1.5 5.25 1.6 6.76 1.7

8.29

所以1.1＜x＜1.2. 因此x的整数部分是1，十分位是1. 注意：对于这两种做法，教师要及时地给与肯定和鼓励，并可将二者加以比较．

教师：在解决某些实际问题的时候，可以根据实际情况确定出方程的解的大致范围，进而估算出一元二次方程的近似根．一般采用“夹逼法”．

采用“夹逼法”求近似值的一般步骤：

(1)将方程变为一元二次方程的一般形式；

(2)根据实际情况确定方程的解的大致范围；

(3)根据方程的解的大致范围，在这个范围内取一个整数值，然后把这个值代入方程左边的代数式进行验证，看是否能使方程左边代数式的值为0，如果为0，则这个数是方程的解；如果不为0，则再找出一个使方程左边的值最接近于0但小于0的整数，这个数就是方程的解的整数部分；

(4)保留整数部分不变，小数部分可参照整数部分的方法进行，以此类推可得出该方程更准确的近似根．

三、练习巩固

五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和．你能求出这五个整数分别是多少吗？

四、小结

1．通过本节课的学习，你有什么收获？

2．利用“夹逼法”求近似解的一般步骤是什么？

五、课外作业

教材第35页习题2.2第1～3题．

本节课通过日常生活中丰富有趣的问题情境让学生感受方程是刻画现实世界的有效数学模型，体会“夹逼”数学思想在现实生活中随处可见，让学生真正经历“夹逼”数学思想解题的过程，从而更好地理解“夹逼”思想解一元二次方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．由学生探索交流，分析此种方法的优缺点，从而概括出这种方法的实质及解题步骤，这既给学生提供了一个充分从事数学活动的机会，又体现了学生是数学学习的主人的理念．学生亲身经历了知识的形成过程，不但改变了以往学生死记硬背的学习方式，而且在教学活动中培养了学生自主探索、合作交流等良好的学习习惯．

本节课多次组织学生合作交流，通过小组合作，为学生提供展示自己聪明才智的机会，在此过程中，教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解，以及思维的误区，这样使得老师可以更好地指导今后的教学．