一元二次方程的根的判别式优秀教学设计

北师大版九年级数学（上册）

第二章 第3节

第二章

一元二次方程

３．用公式法求解一元二次方程（1）教学设计

汉中市龙岗学校 王俊春

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程. 学生活动经验基础：学生已经具备利用直接开平方法、配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.

2二、教学任务分析

公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。

其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。

为此，本节课的教学目标是：

①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力. ③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。

④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力。

三、教学过程分析

本节课的教学设计成以下七个环节：读一读--试一试--讲一讲--练一练--议一议--效果检测（学以致用）--课堂小结（记一记）

(一)读一读：明确本节课学习目标. （二）试一试

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1.复习引入--【温故知新】：

这节课，我首先从旧知问题（1）用配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些？（口答）引入，然后用配方法解方程2x26x10的练习,巩固配方法的一般步骤（化一般方程——二次项系数为1——配方使左边为完全平方式——两边开方——求解）。

设计意图：让学生巩固上一节课的知识，进一步熟练配方法并为今天所学的内容解一般形式的一元二次方程做好铺垫，达到“温故而知新”。

活动的实际效果：

通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程，由于是旧知识，学生容易做出正确答案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。

2.公式探究：

活动1：自主推导求根公式。

提出问题：用配方法解一元二次方程：ax+bx+c=0(a≠0) 学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式. 解：两边都除以一次项系数a: x22bcx0 aa 问：为什么可以两边都除以一次项系数:a 答：因为a≠0 移项，得

x2bcx-aa2bcbb配方:两边同时加一次项系数一半的平方 xx-aa2a2a22

2即: (xb)2b4ac

a4a22

问：现在可以两边开平方吗？ 答：不可以，因为不能保证 b4ac0

4a222 问：什么情况下

b4ac0

学生讨论后回答：答：

∵ a≠0 ，

∴ 4a>0 4a222要使b4ac0，只要 b-4ac≥0即可

4a2∴当b-4ac≥0时，两边开平方取“±” 得：

2bb24ac

xa4a2bb24ac

xa2a bb24ac

xa2abb24ac

x2a

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问：如果b-4ac<0时，会出现什么问题？

答：方程无解

如果b-4ac=0呢？答;方程有两个相等的实数根。

活动目的：

学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。

活动的实际效果：

学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：

22cb2-2运算的符号出现错误和通分出现错误

（1）中 a4a（2）不能主动意识到只有当b-4ac≥0时，两边才能开平方

（3）两边开平方，忽略取“±”。

大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。

通过小组的讨论有利于发挥学生的互帮互助，借助小组的交流完善答案，关键让学生会对b24ac进行讨论，掌握b24ac与方程有无实数根的关系，这里分类思想也是今后常用的一种数学思想，应加以强化. 2bb4ac22x.总结1：对于一元二次方程axbxc0（a≠0），当b-4ac≥0时，它的根是 2a2这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. ．．．． （三）讲一讲

用公式法解方程

2x26x10规范过程，同时与配方法对比，体会哪种方法简便. （四）练一练

解方程：

（1）2x4x10；

（2）x(2x9)8； （3）4x14x； （4）x2x30．

222设计意图：（1）熟悉公式法，强化解题格式，（2）探究有两相等根、无实数根的过程的写法；

（3）及时发现错误及时解决.完后引导学生总结如下：

总结2：用公式法解一元二次方程的一般步骤. ①把方程化成一般形式； ②指出a、b、c的值； ③求出b2-4ac的值并判断正负；

bb24acx(a0,b24ac0)④代入求根公式 ⑤写出方程的解. 2a 设计意图：规范解题格式，让学生体会数学课中的严谨的逻辑推理；体验并掌握公式法解一元二次方程的步骤，从中让学生领会到由特殊到一般，一般到特殊的辩证思想。

（五）议一议 议一议（同桌相互讨论）

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1.公式法是否可以解所有一元二次方程？

2.一元二次方程的根有哪几种情况？能否不解方程，判断方程根的情况？ 总结3：对于一元二次方程ax2bxc0（a≠0），

（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等实数根；

（2）当b2-4ac＝0时，方程有两个相等实数根；

（3）当b2-4ac＜0时，方程无实数根．

我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a≠0）的根的判别式，通常用字母表示. 设计意图：学生通过解方程的练习自然得出以上结论，教师指出，以上结论反之仍然成立，便于以下应用.

（六）学以致用

1.不解方程，判断下列方程根的情况：

22（1）2x57x； （2）4xx130； （3）4y0.092.4y.

2.用公式法解方程：y2+4y10 3.已知关于x的一元二次方程12mxmxm10有两个相等的实数根. 2 （1）求m的值； （2）解原方程. 活动目的：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。同时当堂自我检测学习效果、查缺补漏. 活动实际效果：教师引导学生分析，学生口答、板书，笔答，对比，评价，总结．大部分学生能够正确、熟练的用公式法解方程。 （七）课时小结与“记一记”

（1）学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程. （2）我扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式，只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式. （八）布置作业：面向全体学生，注重个体差异，加强作业的针对性，适应新课标，让不同的学生各其所长，因材施教的要求，提高他们的学习的兴趣和自信心。

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四、板书设计

用公式法求解一元二次方程（1）

2x6x10（学生板书）

1.用配方法解方程 2.用配方法解一元二次方程：ax+bx+c=0(a≠0) （学生口述，教师PPT显示）

22总结：一元二次方程ax2bxc0（a≠0），当2bb4acb-4ac≥0时，它的根是 x.2a23.用公式法解方程

2x2

6x104.学生练习

解方程：

总结：对于一元二次方程ax2bxc0（a≠0），

2（1）2x4x10；

（2）x(2x9)8； （1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等实数根；

（3）4x14x； （4）x2x30．

22（2）当b2-4ac＝0时，方程有两个相等实数根；

（3）当b2-4ac＜0时，方程无实数根．

我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a≠0）的根的判别式，通常用字母表示.

随堂检测【时间紧，可用PPT展示】

1.不解方程，判断下列方程根的情况：

23.已知关于x的一元二次方程12mxmxm10有两个相等的实数根. 2

2x57x；（1） （2） 4xx130； （1）求m的值； （2）解原方程. 2（3）4y0.092.4y.

2.用公式法解方程：y2+4y10

五、教学反思

本节课是在学生掌握了用配方法解一元二次方程的前提下进行的，针对本班的实际情况和教材内容的特点，在本课教学实施的过程中我是采用自然过渡的方法进行的，给出如下两个方程：

（1）2x26x10 （2）ax2bxc0a0

要求学生用配方法完成解题过程,让学生通过复习练习得出本节课的新知识：一元二次方程的求根公b2b24ac(x )式.在学生解方程（2）时，配

后，适时提醒学生对方程两边开平方前必须a4a2b2-4ac的正负性，这是决定一元二次方程是否有实数根的条件，称为一元二次方程根的判别式，讨论 b2-4ac，并说明它的应用.然后让学生继续完成练习求出方程的解 x用∆表示，即△＝ bb24ac2a

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第二章 第3节

后，告诉学生这是一元二次方程的求根公式，本节课的重点就是学习用这个公式来解一元二次方程,教师反问公式成立的条件是什么？让学生清楚先判断 b24ac值的必要性.然后在教师的引导下把（1）题用公式法做一遍以规范过程,接下来就是做练习. 1.培养了学生分类讨论的思想

2.创造性的使用教材

教材只是为教师提供最基本的教学素材，本节课根据学生实际情况，添加了一些新题型. 3.要为学生的终身学习奠基

这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导、规律总结的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力，进一步发展学生合作交流的意识和能力，帮助学生形成积极主动的求知态度.

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