黄金分割教学设计及教案分析

4.4 探索三角形相似的条件——

黄金分割

重庆市江津中学

吴双江

九年级上册（北师大版）

教学目标: （一）知识与技能目标：1、知道黄金分割的定义，会计算黄金比；2、会判断某一点为黄金分割点；3：了解黄金分割的应用；4、会应用黄金分割的知识创造黄金分割的美——折叠黄金矩形；5、会通过折叠找一条线段的黄金分割点。

（二）过程与方法目标：通过观察、猜想、测量、证明、反思等数学活动，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力；通过小组学习，学会与人分享，与人合作，与人交流，培养学生合作交流的能力。

（三）情感态度价值观目标：1、通过黄金分割的实例，体会黄金分割的文化价值和美学价值；2、通过小组讨论、合作交流创造黄金分割的美——折叠黄金矩形，感受中国传统折纸艺术与数学的结合；3、通过从古自今中国对黄金分割的应用，感受中国在数学上的造诣，激发学生的爱国情怀。

教学重点：了解黄金分割的意义，感受黄金分割的文化价值和美学价值，体会数学的验证的方法。

教学难点：制作黄金矩形并会找黄金分割点。

教学工具：多媒体，直尺，饭卡，课本，授课助手，矩形纸条。

教学过程：

一、初识美

课堂开始让学生欣赏由世界公认美女奥黛丽赫本出演的《罗马假日》短视频。

师：奥黛丽赫本有精致的五官，现在记发际线为点A，下颚为点C，眼睛为点B。通过几何画板可以计算出AB:BC约为多少？

生：0.61. 师：现在将眼睛向上移动，其比值远离0.61.这个时候奥黛丽赫本美吗？

生：不美。

师：如果将眼睛向下移，其比值远离0.61，这个时候奥黛丽赫本美吗？

生：不美。

师：如果将眼睛移动，其比值靠近0.61，这个时候奥黛丽赫本又变美了。你们不觉得这很神奇吗？这到底蕴含了什么样的数学知识呢？其实这就是我们数学中的黄金分割。什么是黄金分割呢？这一节课我们一起来认识黄金分割。

（设计意图：通过欣赏奥黛丽赫本出演的短视频，让学生初步感受美的事物，建立起美的印象；通过探究奥黛丽赫本美的原因，激发学生学习数学的兴趣，并为引入新知做准备。）

二、探索美

黄金分割的定义：点B把线段AC分成两部分，如果ABBC=,则称线段AC被点B黄BCAC金分割，其中点B叫做线段AC的黄金分割点,其比值叫做黄金比。

注：1.比例ABBC短长==可以记做。

BCAC长全2.

黄金比约为0.618 问：为什么黄金比为0.618？

解：设AC为1个单位，BC为x个单位，则AB为（1-x）个单位.则可列方程为：

1-x:x=x:1

则x1=—

5—1

5—

1x2=(不符合题意舍去) 2,2所以BC=5—1

2. 5—

1所以黄金比为2约为0.618. 三、感受美

（一）应用黄金分割重新审视奥黛丽赫本的脸。

师：当记奥黛丽赫本的脸的发际线为点A，下颚为点C，则线段AC的黄金分割点在脸的哪个位置上？

生：眼睛。

师：真会学以致用，眼睛所对应的点就是这条线段的黄金分割点。所以这里的AB:BC比值是多少呢？

51生：2约为0.618. 师：其实人的五官分布越符合黄金分割就越美。

（设计意图：前后呼应。通过黄金分割解释奥黛丽赫本的美，让学生体会数学的实用性。将实际物体抽象成数学模型，培养学生的数学模型思想。）

（二）神奇的0.618 1.

观看神奇的0.618视频。

2.展示五星红旗，分析五星红旗中的黄金分割的奥秘。

师：这是什么？

生：五星红旗

师：五星红旗镶嵌着五角星，不仅仅我国国旗有五角星，其他许多国家的国旗也镶嵌着五角星。你们知道为什么五角星这么时髦吗？猜一猜它和什么数学知识有关？

生：黄金分割

师：联想能力真好，对，其实五角星蕴含了黄金分割的知识。比如现在五角星上线段AB的黄金分割点在哪里呢？

生：C点

师：如果五角星中所有的交点都标上字母，你们看，线段GD的黄金分割点在哪里？

生：E、F。

师：所以一条线段几个黄金分割点？

生：两个。

师：其实五角星有五个黄金分割点，正是因为有黄金分割，才使得五角星那么匀称。五星红旗整体是一个匀称的矩形，你们猜一猜这个匀称的矩形的宽与长的设计到底有什么样的奥秘呢？

生：宽与长的比为

5—1约0.618. 2师：同学们应用知识的能力很强，正是因为宽与长的比为5—1

矩形看起来才那么匀2称。像这种矩形我们叫做黄金矩形。其名字顾名思义，应用黄金分割设计的矩形我们叫做黄金矩形。将宽与长拼接成一条线段，其黄金分割点在哪里呢？

生：宽与长的节点处。

师：因为黄金矩形那么匀称，所以古今中外在建筑上黄金矩形应用相当广泛，比如我国的故宫，天安门城楼，他们的主体部分的平面都是黄金矩形。甚至古希腊的巴特农神庙以及美国的白宫。

（设计意图：通过微视频介绍黄金分割在大自然中无处不在，让学生感受黄金分割的文化

价值和美学价值）

（三）量一量

问：生活中还有哪些物体的形状是黄金矩形的形

答：课本封面

师：请同学们量一量课本封面的宽与长

状？

生：宽为：18.4cm 长为：25.7cm 师：手机计算器计算比值约为0.715，是不是黄金矩形呢? 生：不是

师：因此我们眼见是否一定为实呢？

生：不一定

师：猜测之后需要怎么办？

生：验证

师：这里是怎样验证的呢？

生：测量

师：课本为了手持更加舒服，所以并没有设计成黄金矩形。

问：有没有什么物体的形状更有可能是黄金矩形形状的呢？

答：我们学校的饭卡

师：请同学们量一量我们学校的饭卡的长与宽

生：宽为：5.3cm 长为：8.55cm 师：我们用手机计算器计算出比值约为0.619，近似黄金矩形。其实生活中还有许多黄金矩形形状的物体，比如手机屏幕，以及银行卡，你们知道为什么要这样设计吗？

生：为了使得物体看起来更加美。

（设计意图：通过小组合作，量一量，体会黄金分割在生活中的应用。通过猜测到测量，让学生学会应用数学方法探索生活中的奥秘，积累生活经验，培养学生的动手能力。）

四、创造美

1.折叠：师：母亲节到了，让你为你的母亲制作一张黄金矩形的明信片，你可以制作成什

么矩形更加的精美呢？

生：黄金矩形的形状

师：根据黄金分割的知识，用一张纸条以小组合作形式，按照学案步骤一步一步的折叠黄金矩形。

请小组成员展示折叠过程

师：第一步折出什么形状？

生：正方形

师：第二步点A是什么点

生：线段的中点

师：第三步有几次折叠

生：两次，第一次是折对角线，第二次是折将对角线与长方形边重合，交点记为D点

师：第四步呢？

生：第四步主要是做垂线段。

（设计意图：通过折叠黄金矩形，进一步让学生感受黄金分割的美学价值。通过制作黄金矩形，培养学生的动手操作能力，并进一步了解黄金矩形。同时为后面启发学生找线段黄金分割点做铺垫；通过学生展示讲解每一步的折法及结果，让学生对折叠深入理解。）

2、验证

师：你们折叠的四边形BCDE就一定是黄金矩形吗？

生：是

师：你怎么验证？

生：测量

师：以小组为单位测量你们所制作的矩形

生1：宽为7.7cm 长为12.4cm 师：通过计算宽与长的比为0.621，近似黄金矩形

生2：宽为8cm 长为13cm

师：通过计算宽与长的比为0.615，近似黄金矩形。为什么同样方法折叠出来的比值大小不一样呢？

生：有误差。

师：数学中有没有什么严谨的方法验证呢？

生：证明

师：对，接下来我们先证明特殊情况

当MN=2的时候BC=? 生：因为四边形MNCB为正方形，所以BC=MN=2. 师：AC等于多少呢？

生：因为A点为线段NC的中点，所以AC为NC的一半等于1 师：AB等于多少呢？

生：根据勾股定理可得AB等于5，

师：AD呢？

生：由折叠所得AD也等于5。

师：所以CD等于多少呢？

生：也是5-1. 师：因此比值就为（5-1）：2。四边形BCDE是黄金矩形。

师：特殊的情况成立，我们可以推广到一半情况即MN=2a.由2变成2a,该怎么证明

生：相应线段都乘以a即可。

师：我们一起写。通过证明可以得到对于一般情况也能证得我们折叠四边形BCDE的矩形是黄金矩形。

师：我们还可以观察我们折叠的矩形中还有一个是黄金矩形，你们能告诉我吗？

生：四边形MNDE是黄金矩形

师：我们怎样验证？

生：测量和证明

（设计意图：经历观察，猜想，测量，证明的探索方法，让学生体会数学探索的一般方法，感受数学的严谨性。同时培养学生的动手能力。）

五、验证美

师：线段ND的黄金分割点在哪里？

生：点C是线段ND的黄金分割点。

师：怎么证明呢？

生：因为四边形MNDE是黄金矩形，所以MN:ND为矩形，所以CD:BC等于为四边形MNCB为正方形，所以NC=MN=BC. 等量代换可以得到NC:ND=CD:NC.即长：全=短：长。所以按照黄金分割的定义可知点C为线段ND的黄金分割点。

师：通过以上我们可以知道找线段的黄金分割点可以按照以上折叠方法得到。

（设计意图：通过证明线段的黄金分割点，让学生学以致用，学会找黄金分割点，同时启发学生学会通过折叠找线段的黄金分割点。再次感受数学中证明的严谨。）

5-12。因此MN:ND=CD:BC. 又因5-12四边形BCDE也为黄金五．课堂小结

问1：这节课有什么收获？

问2：如果通过折叠找出一条线段的黄金分割点呢？

答：先折黄金矩形

问3：有哪些方法验证一条线段的黄金分割点呢？

答：测量，证明

问4：在验证过程中体现了什么数学思想？

答：特殊到一般

（设计意图：有学生先自主总结，培养学生归纳概括的能力。从知识技能，过程方法，数学思想方面总结，培养学生善于思考的习惯，通过学习黄金分割的知识，感受数学的美，体会黄金分割的文化价值和数学价值。）

六．

板书设计

黄金分割

一、黄金分割的定义

5-1

黄金比：

≈0.618

2二、验证黄金分割的美—黄金矩形

方法1：测量

方法2：证明：由特殊到一般