2.2.1 直线的参数方程教学设计内容推荐

直线的参数方程

学习目标

1.理解并掌握直线的参数方程

2.能够利用直线的参数方程解决有关问题．

知识点

直线的参数方程

πα≠，思考1

如图，直线l过定点M0(x0，y0)且倾斜角为α2那么直线的点斜式方程是什么？

答案

y－y0＝tanα(x－x0)．

思考2

在思考1中，若令x－x0＝tcosα(t为参数)，那么直线l的参数方程是什么？

x＝x0＋tcosα，答案

(t为参数)．

y＝y＋tsinα0

梳理

(1)直线的参数方程

x＝x0＋tcosα，①过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)；

y＝y＋tsinα0

②由α为直线的倾斜角知，当0<α<π时，sinα>0. (2)直线参数方程中参数t的几何意义

参数t的绝对值表示t对应的点M到M0的距离．

→①当M0M与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数；

→②当M0M与e反向时，t取负数，当M与M0重合时，t＝0. (3)重要公式：设A，B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA，tB，则|AB|＝|tB－tA|＝tB＋tA2－4tA·tB. 类型一

直线的参数方程与普通方程的互化

例1

(1)化直线l1的普通方程x＋3y－1＝0为参数方程，并说明|t|的几何意义；

x＝－3＋t，(2)化直线l2的参数方程(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t|的几何意y＝1＋3t义．

解

(1)直线l1与x轴交于点M0(1,0)，

又k＝tanα＝－∴cosα＝－3，

3

31，sinα＝，

22

x＝1－23t，∴直线l的参数方程为1y＝2t1

(t为参数)．

|t|表示t对应的点M(x，y)到M0的距离．

x＋3＝t，

①(2)方程组变形为

y－1＝3t，

②π①代入②消去参数t，得直线的点斜式方程y－1＝3(x＋3)，可得k＝tanα＝3，倾斜角α＝，3普通方程为3x－y＋33＋1＝0. 又∵①②两式平方相加，

得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2，

x＋32＋y－12→∴|t|＝，|t|是定点M1(－3,1)到t对应的点M(x，y)的有向线段M1M的长的一2半．

反思与感悟

(1)一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α<π)惟一确定，直线上动点x＝x0＋tcos α，M(x，y)的参数方程为(t为参数)，这是直线参数方程的标准形式，特别地，y＝y0＋tsin αx＝x0，π当α＝时，直线的参数方程为(t为参数)．

2y＝y0＋t

b(2)直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为的直线ax＝x0＋at，的参数方程是(a、b为常数，t为参数)．

y＝y0＋bt

x＝－3＋23t，跟踪训练1

已知直线l：1y＝2＋t2(2)求直线l的倾斜角；

(t为参数)．

(1)分别求t＝0,2，－2时对应的点M(x，y)；

(3)求直线l上的点M(－33，0)对应的参数t，并说明t的几何意义．

x＝－3＋23t，解

(1)由直线l：1y＝2＋t2

(t为参数)知，当t＝0,2，－2时，分别对应直线l上的点(－3，2)，(0,3)，(－23，1)．

x＝－3＋23t，(2)方法一

化直线l：1y＝2＋t2设直线l的倾斜角为α，则k＝tanα＝π解得α＝. 6π故直线l的倾斜角为. 6

(t为参数)为普通方程为y－2＝3(x＋3)，

33(0≤α<π)，

3x＝－3＋tcos 6，方法二

易知直线l：πy＝2＋tsin 6π故直线l的倾斜角为. 6π

(t为参数)，

π则直线l过定点M0(－3，2)，且倾斜角为，

6ππ31cos，sin＝，，且M0(－3，2)，

(3)由(2)可知直线l的单位向量e＝6226又已知M(－33，0)，

31→∴M0M＝(－23，－2)＝－4，＝－4e，

22∴点M(－33，0)对应的参数t＝－4，

→→几何意义为|M0M|＝4，且M0M与e方向相反．

类型二

直线参数方程的应用

例2

已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点．

(1)求|AB|；

(2)求AB的中点M的坐标及|FM|. 解

抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，

x＝2＋依题意，设直线AB的参数方程为2y＝t51t，5

(t为参数)，其中cosα＝12，sinα＝，α55

为直线AB的倾斜角．

x＝2＋将2y＝t51t，5

代入y2＝8x，整理得t2－25t－20＝0. 设A，B对应的参数值为t1，t2，

则t1＋t2＝25，t1t2＝－20. (1)|AB|＝|t2－t1|＝t1＋t22－4t1t2＝252＋80＝10. →→(2)设AB的中点为M(x，y)，则AM＝MB，

→→→→∴FM－FA＝FB－FM，

→1→→t1＋t2∴FM＝(FA＋FB)＝e＝5e，

22故点M对应的参数为5，

x＝2＋5cosα，由得M(3,2)，

y＝5sinα|FM|＝t1＋t22＝5.

x＝x0＋tcos α，反思与感悟

设二次曲线C：F(x，y)＝0，直线l：(t为参数)，如果l与Cy＝y0＋tsin α

相交于A、B两点，那么将l的方程代入F(x，y)＝0后，可得at2＋bt＋c＝0，则该方程有两→→个不等实数根t1，t2，此时M0A＝t1e，M0B＝t2e，e＝(cos α，sin α)，于是易得以下两个常见的t1＋t2|t1＋t2|公式：(1)|AB|＝|t1－t2|；(2)线段AB的中点M对应的参数t＝，且|M0M|＝. 22π跟踪训练2

直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝，l与圆x2＋y2＝7相交于A、B两点．

6(1)求弦长|AB|；

(2)求A、B两点坐标．

π解

(1)∵直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝，

6x＝－4＋23t，∴可设直线l的参数方程为ty＝2.代入圆方程，得－4＋

3212t＋t＝7. 22整理得t2－43t＋9＝0.

设A，B对应的参数分别为t1和t2，①

由根与系数的关系，得t1＋t2＝43，t1t2＝9，

∴|AB|＝|t2－t1|＝t1＋t22－4t1t2＝23. (2)解①得t1＝33，t2＝3，代入直线参数方程

x＝－4＋23t，1y＝2t，

1335353133得A，，B－，或A－，，B，. 22222222例3

过点P1022|PN|的，0作倾斜角为α的直线与曲线x＋12y＝1交于点M，N，求|PM|·2最小值及相应的α值．

x＝10＋tcosα，π2解

设直线为(0≤α<，t为参数)，

2y＝tsinα代入曲线x2＋12y2＝1，

3并整理得(1＋11sin2α)t2＋(10cosα)t＋＝0. 232∴t1t2＝，

1＋11sin2α∴|PM|·|PN|＝|t1t2| 323＝. 2＝1＋11sinα2＋22sin2α∴当sin2α＝1，

π1即α＝时，|PM|·|PN|取得最小值，且最小值为. 28反思与感悟

利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，当求直线上某一定点到直线与曲线交点的距离时，根据直线参数方程中参数的几何意义解题更为方便．

π跟踪训练3

已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝，

6(1)写出直线l的参数方程；

(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．

π解

(1)因为直线l过点P(1,1)，倾斜角为，

6

所以直线的参数方程为πy＝1＋tsin ，6x＝1＋23t，即1y＝1＋t2πx＝1＋tcos ，6

为所求．

(2)因为点A，B都在直线l上，

所以可设它们对应的参数为t1和t2，

则点A，B的坐标分别为A1＋31t1，1＋t1，

22B1＋31t2，1＋t2，

22把直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4，整理得到t2＋(3＋1)t－2＝0，①

因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. 类型三

直线参数方程的综合应用

x＝－4＋22t，例4

已知曲线C：2y＝2t1

x＝－2＋cosθ，(t为参数)，C2：(θ为参数)．

y＝1＋sinθ

(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(2)若曲线C1和C2相交于A，B两点，求|AB|. x＝－4＋22t，解

(1)由曲线C：2y＝2t，1

消去参数t，得y＝x＋4，

所以曲线C1表示一条直线．

x＝－2＋cosθ，由曲线C2：消去参数θ，

y＝1＋sinθ，

得(x＋2)2＋(y－1)2＝1，

所以曲线C2表示以(－2,1)为圆心，1为半径的圆．

|－2－1＋4|2(2)方法一

圆心C2(－2,1)到直线x－y＋4＝0的距离为d＝＝，

22所以|AB|＝2r2－d2＝211－＝2. 2

x＝－4＋22t，方法二

将直线的参数方程C：2y＝2t1

(t为参数) 代入曲线C2：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，

整理得t2－32t＋4＝0. 设A，B对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝32，t1t2＝4，

所以|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝2. 引申探究

1．若点P(－4,0)是曲线C1上的定点，本例其它条件不变，求|PA|＋|PB|的值．

x＝－2＋cosθ，解

由曲线C2：知，

y＝1＋sinθ

曲线C2是圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1. 因为点P(－4,0)在圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1外，

x＝－4＋22t，将直线的参数方程2y＝2t得t2－32t＋4＝0，

代入曲线C2：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，

设A，B对应的参数为t1，t2，则t1，t2同号，

且t1＋t2＝32，t1·t2＝4，

所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝32. 112．在探究1条件不变的情况下，求＋的值．

|PA||PB|解

由探究1知，t1＋t2＝32，t1·t2＝4，

所以|PA|＋|PB|＝|t1＋t2|＝32，

|PA|·|PB|＝|t1t2|＝4. |PA|＋|PB|3211所以＋＝＝. |PA||PB||PA|·|PB|4反思与感悟

(1)参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，由参数方程求曲线交点坐标时，可以通过方程组求出参数值，再根据参数值得出交点坐标．

(2)解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与曲线交点之间线段长度的和、乘积等，都可以利用直线参数方程中参数的几何意义加以解决．

x＝5＋23t，跟踪训练4

已知直线l：1y＝3＋t2

(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ. (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值；

11－(3)求|MA||MB|的值．

解

(1)曲线C的极坐标方程ρ＝2cosθ化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0. x＝5＋23t，(2)将1y＝3＋t2

代入x2＋y2－2x＝0，

得t2＋53t＋18＝0. 设这个方程的两个实根分别为t1，t2，

则由参数t的几何意义可知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18. (3)由(2)知t1，t2为同号，

||MB|－|MA||＝||t2|－|t1||＝

|t2－t1|＝t1＋t22－4t1t2＝3，

11||MB|－|MA||3－∴＝＝. |MA||MB||MA|·|MB|18课堂练习

x＝2＋3t，1．直线(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是(

) y＝－1＋t

A．1 C．10 答案

B B.10 D．22 解析

因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，

即2－52＋－1－02＝10. x＝－3＋tcosα，π2．直线(t为参数，α＝)不经过(

) 6y＝2＋tsinα

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

答案

D D．第四象限

x＝1－2t，x＝s，3．若直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，则k＝________. y＝2＋kty＝1－2s

答案

－1 k解析

由－·(－2)＝－1，得k＝－1. 25π4．设直线l过点A(2，－4)，倾斜角为，则直线l的参数方程为________．

6x＝2＋tcos 6，答案

5πy＝－4＋tsin 65π

x＝2－23t，或1y＝－4＋t2

5π31解析

∵α＝，∴cosα＝－，sinα＝，

622x＝2－23t，∴l的参数方程为1y＝－4＋t2

(t为参数)．

π5．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．

4x＝3＋22t，解

设直线的参数方程为2y＝4＋t，2将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，

得33＋

22t＋24＋t＝6，

22112解得t＝－，

5∴|MP0|＝|t|＝小结

x＝x0＋tcosα，1．经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．其中ty＝y＋tsinα0112. 5

→表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量，可以为正、为负，也可以为零．

x＝x0＋tcosα，2．直线l：(t为参数)与二次曲线C交于两点A，B，A，B对应的参数为t1，y＝y0＋tsinα

t2.则|AB|＝|t1－t2|.但|M0A|＋|M0B|与|AB|不完全相同，当t1与t2异号时，|M0A|＋|M0B|＝|AB|＝|t1－t2|；当t1与t2同号时，|M0A|＋|M0B|＝|t1＋t2|≠|AB|. 3．要注意区别直线参数方程是否为标准形式，若不是标准形式，则参数t就不具有相应的几何意义．