1.1.2 平面上的伸缩变换教学设计模板

《平面上的伸缩变换》

教学设计

葫芦岛市第一高级中学

吴琼

1

1.1.2平面上的伸缩变换

【教学目标】

知识与技能：会画出伸缩变换后的平面图形；

了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；

过程与方法：通过具体例子，强化学生对平面直角坐标系的认识体会伸缩变换；

情感态度与价值观：

培养运动变化、数形结合的意识，体会坐标思想的作用

【教学重点】

平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；

【教学难点】

理解平面直角坐标系中的伸缩变换、会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题

【教学方法】

本节课采用教师引导,学生自主分析的学习方法。以教师提问，学生思考并作答的方式，充分调动学生学习的主动性与积极性，使学生成为课堂的主体。

【教材分析】必修四已经学习了三角函数的相关知识，关于三角函数的伸缩变换学生都已经能够熟练掌握，通过本节课的学习，把上述知识进行深化，伸缩变换的本质就是坐标变换，使学生在头脑里形成完整的知识体系。

【学情分析】本校学生基础较好，涉及到的知识都很熟悉，基本能达到老师的要求，自主学习能力很强，在老师的引导下可以很好的进入状态。

【教学内容】

(2分钟)一

提问设疑

引起兴趣

想要得到一个椭圆，你有什么办法

(2分钟)二

探求新知

必修四我们已经学习过三角函数的图像变换，思考：

思考

1 正弦函数y=sinx 如何变成y=sin2x 思考

2

正弦函数y=sinx 如何变成y=3sinx 思考

3

正弦函数y=sinx 如何变成y=3sin2x 为何？

答：通过图像观察，

（1）图像的的纵坐标不变，横坐标缩短为为原来的1。

2（2）图像的横坐标不变，纵坐标伸长为为原来的3倍。

（3）纵坐标先保持不变，横坐标缩短为为原来的1，纵坐标再伸长为为原来的3倍。

2即函数分别进行的X轴和Y轴上的伸缩变换，请同学们研究一下，为什么经过这样的伸缩变换就能得到所要的图像呢？

答：因为经过伸缩变换，图像上点的坐标发生了改变。那么

思考

4

以上三个变换前后，曲线的坐标的关系，你能用式子表达出来吗？为什么经过这样2

的变换，就能得到所要的图像呢？

(5分钟)学生讨论。

(8分钟)学生分组讨论后代表回答：

可能答案：（1）因为横坐标缩短为原来的1，设变化之前y=sinx上任一点坐标为P（x,y）,21x'xx2x'变换后y=sin(2x)图像上点坐标为P’（x’,y’），则有变换，解出，将其代2yy'y'y入

y=sinx中验证，得到y’=sin(2x’),成立。

（2）设变化之前y=sinx上任一点坐标为P（x,y）,变换后y=sin(2x)图像上点坐标为P（’x’,y’），1xx'x'ax11a假设变换为，其中a>0,b>0，解出，将其代入y=sinx,得到y'sinx'，bay'byy1y'b1x'a对比y=sin2x,得到b=1,a=1. 即

21(3) 因为横坐标缩短为原来的，设变化之前y=sinx上任一点坐标为P（x,y）,变换后y=sin(2x)2y'bsin1x'x图像上点坐标为P’（x’,y’），则有变换2，将其代入

y'yy’=sin2x’中验证，得到成立。

同理，（2）中变换为x'x1ysin2xsinx

2y'3y1x'x（3）中变换为2

y'3y

(2分钟)思考

5

把圆xy4，横坐标不变，纵坐标压缩为原来的一半，变成什么图形？

22x'xxx'x2y21，这是椭圆的方程。

答：代入圆方程，得到1

即4y'yy2y'2(3分钟)思考

6

直线y=kx+b,横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，问变换之后3

x2y2是什么图形？双曲线221横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，问变换ab之后是什么图形？抛物线呢？

(2分钟)思考

7 谁能总结一下坐标变换公式？

变化之前y=f（x）上任一点坐标为P（x,y）,变换后y’=f(x’) 图像上点坐标为P’（x’,y’），变x'ax换公式为,其中a>0,b>0. y'by教师解释：把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到。

(2分钟)思考8

怎样得到变换之后的图像表达式？

1xx'a若想得到变换之后的图像表达式，由上述变换公式解出，将其代入变换之前解析y1y'b1y'bf(x')a。

式y=f(x),得到

三

典型例题

x'2x(5分钟)例1：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图y'3y形

（1）2x+3y=0 （2）xy1

（学生思考后教师提问）

22x2xxx

解：1由伸缩变换2得

y3yy1y

3

代入2x+3y=0得x+y=0

1xx

x2x12得x'2y'2y3yy1y221



，代入xy1，得3492由伸缩变换

4

(2分钟)例2.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x29y236变为曲线x'2y'21

解：设伸缩变换为：x'x0,0，代入x'2y'21，得2x22y21，

y'y11x'x33又4x29y236，



1y'1y22

x3x（2分钟)例3.在同一直角坐标系下经过伸缩变换



后，曲线C变为

x



2



9

y



2



9，yy求曲线C的方程并画出图形。

x29y29x3x解：将



代入

，得9x29y29，即x2y21

yy四

课堂练习

x2x(2分钟)1. 将曲线C按伸缩变换公式



变换得到曲线方程为x'2y'21，y3y则曲线Ｃ的方程为D x2y2x2y2x2y2221

1 B 1 C 4x9y36 D A 11499449x'2x22(2分钟)2.将曲线C经过伸缩变换则1后对应的图形方程为xy1，y'y3曲线C的焦点坐标为

x'2x121222224xy1a,b9

解：将变换代入，得，xy1194y'y3373737cab0，c，焦点坐标为2，

42222（3分钟）五

小结（学生总结）

5

1、伸缩变换公式

2、数形结合思想的运用，转化化归的思想

（课后完成）六

课后作业

1.求y＝sinx经过伸缩变换

x3x后的方程。y2y

2. 在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：

(1)直线x－2y＝2变成直线2x'－y'＝4；

(2)曲线x2y22x0变成曲线x'216y'24x'0。

七

板书设计

1.1 平面上的伸缩变换

思考

y=sinx→sin2x y=sinx→3sinx y=sinx→3sin2x

坐标变换公式：

课堂练习

作业

小结

x'ax其中a>0,b>0. y'by

例1 例2

八

课后反思

本节课打破了以往教师为主体，满堂灌的形式，主要是教师引导，学生自主探究。先通过一个问题，如何画出一个椭圆，引出本节课内容，引起学生的兴趣，接下来也没有进入到

正统的教学模式，而是接连抛出一个又一个的问题，环环相扣，紧吊胃口，学生十分渴求得到问题的答案。经过教师的指点，学生之间的互相探讨，得出问题的结论。大家思想互相碰撞，思维发散，这种得到各种解决问题的形式跟以前大不一样，是学生自己总结出来的，变死知识为活应用，记忆更加深刻，更重要的是在探求知识的过程中，学会了学习的方法，还培养了解题能力、数形结合能力、归纳总结能力，课堂上学习气氛浓厚，从而完成教学目标，达到授人以渔的目的。

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