6. 匀变速直线运动位移与时间的关系课时教案

匀变速直线运动的位移与时间的关系

【知能准备】

1．匀速直线运动的速度—时间图线与时间轴所围的“面积”表示 ，其位移公式x

。

2．采用 的思想我们可推导出匀变速直线运动的vt图线与时间轴所围的“面积”表示 。时间轴上方所围的“面积”表示 ，时间轴下方所围的面积表示 。

3．匀变速直线运动的位移公式是x ，其中是矢量的物理量有 ，是标量的物理量有 。

4．由匀变速直线运动的速度—时间公式和位移—时间公式可以推出速度—位移公式是 ，若初速度为零，则位移公式是 ，速度—位移公式是 。

【同步导学】

1．匀变速直线运动的位移公式

根据平均速度的定义式，做任何变速运动的位移都可以表示为xvt，则匀变速直线运动的位移公式为svt(v0vt)t/2v0t12at

2（1）位移公式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函数关系，式中的v0是初速度，时间t应是物体实际运动的时间。

（2）在取初速度v0方向为正方向的前提下，匀加速度直线运动a取正值，匀减速直线运动a取负值；计算的结果s0，说明位移的方向与初速度的方向相同；s0说明位移的方向与初速度的方向相反。

（3）对于初速度为零（v00）的匀变速直线运动，位移公式为s11v1tat2

22即位移s与时间t的二次方成正比。

（4）速度—时间图像下的面积表示位移的大小，且t轴上方的面积表示正位移，t轴下方的面积表示负位移。

例1某做直线运动的质点的位移随时间变化的关系式为x4t2t2,x与t的单位分别是m和s，则质点的初速度和加速度分别是（ ）

A．4m/s和2m/s B．0和4m/s

C．4m/s和4m/s D．4m/s和0 2221

解析：做匀加速直线运动的位移随时间变化的关系式为：X

=v0t相比较，v04m/s,a4m/s2，所以只有C正确。

122at，与关系式x4t2t2

例2一辆汽车在笔直的公路上做匀变速直线运动，该公路每隔15m安置一个路标，如图1所示，汽车通过AB两相邻路标用了2s，通过BC两路标用了3s，求汽车通过A、B、C三个路标时的速度。

A

B

C 解析：汽车从A到C是匀减速运动，设汽车通过路标A时图1 速度为vA，通过AB的时间t12s，通过BC的时间t23s。

根据位移公式sv0t有sABvAt112at，研究AB运动的过程，

2121at，研究AC运动过程，有sACvAt1at2

22其中tt1t25s

解得：vA8.5m/s,a1m/s2

再根据速度公式

vBvAat16.5m/s

vCvat3.5m/s

例3 以18m/s的速度行驶的汽车，紧急刹车后做匀减速直线运动，其加速度大小为6m/s，求：

（1）汽车在2s内通过的距离；

（2）汽车在6s内通过的距离。

解析：应首先判断所求位移对应的时间内汽车是否一直在运动，然后利用匀变速直线运动的位移公式进行求解。

已知汽车刹车时间的初速度v018m/s，因为是匀减速直线运动，所以加速度a6m/s，设经过t0秒汽车停止运动(vt0)，则由v1v0at

22

得t0v018s3s

a(6)因t12st0，故前2s内汽车一直在运动，所以前2s内通过的距离（即位移的大小）

11s1v0tat2182m(6)22m24m

22又因t26st0，汽车刹车后运动3s就停下来了，所以6s内汽车通过的距离也就是3s内汽车通过的距离，所以6s内汽车通过的距离为

11s2v0tat2183m(6)32m27m

22[规律总结]对于匀减速直线运动，一定要注意速度减为零后是静止不动还是又反向加速了。对于汽车刹车、飞机着陆等依靠运动阻力减速的物体来说，速度减为零后即静止。所以必须选判定运动物体所经历的实际时间，然后再根据具体条件进行求解。

例4有一个做匀变速直线运动的质点，它在两段连续相等时间内通过的位移分别是24m和64m，连续相等的时间为4s，求质点的初速度和加速度的大小。

解析：根据位移公式得

1s1vATaT22

12s2vBTaT2根据速度公式得vBvAaT

将s124m,s264m,T4s代入上面三式，联立解得vA1m/s,a2.5m/s2

[规律总结]匀变速运动的每一个公式都涉及四个物理量，解题时应注意根据题目所给的三个已知量，以及要求的未知量，合理选用公式。

例5从车站开出的汽车，做匀加速运动，走了12s时，发现还v/m•s-1

有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车，总共历时20s，5 4 行进了50m，求汽车的最大速度。

解析：汽车先做初速度为零的匀加速直线运动，达到最高速度后，立即改做匀减速运动，可以应用解析法，也可应用图象法。

设最高速度为vm，由题意，可得方程组

3 2 1

O

8

12 16

20

t/s

4 图2 3

s1212a1t1vmt2a2t2 tt1t2

22vma1t1,0vma2t2

整理得vm2s250m/s5m/s

t1t220应用图像法，作出运动全过程的vt图像如图所示，vt图线与t轴围成三角形的面积与位移等值，故

svmt2s2s2050,vmm/s5m/s

2tt1t220[规律总结]解决运动学问题的关键是理解运动过程，画出运动过程的vt图，再选择恰当的公式求解。

2．位移和速度的关系

我们知道vtv0at,sv0t12at

22消去两式中的时间t，得到vt2v02as

我们已知道两个位移公式：sv0t122at和vt2v02as

2（1）以上两式仅适用于匀变速直线运动。

（2）解题时选择哪一个公式求解，要看已知量情况，因为前式中无vt，后式中无t，故选择公式时应尽量减少未知量。

（3）本节中所有公式皆为矢量式，除时间t外，所有物理量皆为矢量，因此在解题时，要确定一个正方向，常选初速度方向为正方向，其余矢量依据其与v0方向的关系（即相同或相反），分别代入“+”、“—”，如果某个量是待求的，可选假定其为“+”，最后根据结果的“+”、“—”确定实际方向。

例6一个物体以初速度v0从斜面上滑下，滑到斜面底端时速度为vt，则它滑到斜面中点时速度是多大？

解析：灵活应用不含时间的位移—速度关系即可求解。

设斜面长为x，物体的加速度为a，则有vtv02ax

224

设滑到斜面中点时速度为v，对前半程有 vv02a2v0v12联立①、②得： v

222x

2例7一个滑雪人，从85m长的山坡上匀变速滑下，初速度是1.8m/s,末速度是5.0m/s。他通过这段山坡需要多长时间？

解析：滑雪人的运动可以看作是匀加速直线运动，可以利用匀变速直线运动的规律来求，已知量的初速度v0，末速度vt和位移x，待求量是时间t，我们可以用不同的方法求解。

解法I：利用公式vtv0at和xv0t由公式vtv0at得，需要的时间t12at求解。

22x285m25s

v1v05.0m/s1.8m/s22解法Ⅱ：利用公式vt2v0得，加速度

2ax和vtv0at求解，由公式2axvt2v02vt2v0(5.0m/s)2(1.8m/s)2a0.128m/s2

2x285m由公式vtv0at得，需要的时间

t

vtv05.0m/s1.8m/s25s

a0.128m/s2v0vt和xvt求解

2vvt1.8m/s5.0m/s3.4m/s

平均速度v022x85m25s

由xvt得，需要的时间 tv3.4m/s解法Ⅲ：利用平均速度的公式v

【同步检测】

1．一个做匀加速直线运动的物体，初速度v02.0m/s，它在第3s内通过的位移是4.5m，则它的加速度为（ ）

A．0.5m/s B．1.0m/s C．1.5m/s D．2.0m/s

5 2222

2．如图所示的是一质点做直线运动的速度—时间图像，则可知（ ）

A．0-2s与4-5s内质点加速度方向相反

-1v/m•s

B．0-2s与4-5s内质点速度方向相反

3 C．2-4s内质点加速度最大

D．0-5s内的位移为10.5m

3．做匀加速直线运动的质点，运动了ts，下列说法中正确的是（ ）

A．它的初速度越大，通过的位移一定越大

B．它的加速度越大，通过的位移一定越大

C．它的末速度越大，通过的位移一定越大

D．它的平均速度越大，通过的位移一定越大

O

2

4

t/s

第2题

4．做匀变速直线运动的物体，在时间t内的位移为s，设这段时间中间时刻的瞬时速度为v1，这段位移的中间位置的瞬时速度为v2，则（ ）

A．无论是匀加速运动还是匀减速运动，v1v2

B．无论是匀加速运动还是匀减速运动，v1v2

C．无论是匀加速运动还是匀减速运动，v1v2

D．匀加速运动时，v1v2，匀减速运动时，v1v2

5．两辆完全相同的汽车，沿水平直线一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定加速度刹车，在它刚停车后，后车以与前车相同的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行的距离为s，若要保证两车上述情况下不相撞，则两车在匀速行驶时应保持距离至少为（ ）

A．s B．2s C．3s D．4s

6．海滨浴场的滑梯从顶端到入水处长约12m，一个由滑梯顶端开始做初速度为零的匀加速直线运动，开始运动后第一秒通过路程是0.75m，则人的加速度大小是 ，从顶端开始到入水，所需要的时间是 ，人入水时的速度大小是 ，从顶端开始到入水人的平均速度的大小是 。

7．一辆沿水平路面行驶的汽车，速度为36km/h，刹车后获得加速度的大小是4m/s，求刹车后3s汽车滑行距离。

6 2

8．某飞机起飞的速度是50m/s，在跑道上加速时可能产生的最大加速度为4m/s，该飞机从静止到起飞成功需要跑道的最小长度为多少？

9．火车刹车后7s停下来，设火车匀减速运动的最后1s内的位移是2m，则刹车过程中的位移是多少米？

【综合评价】

1．一物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4m/s,1s后速度大小变为10m/s，在这1s内该物体的（ ）

A．位移的大小可能小于4m B．位移的大小可能大于10m C．加速度的大小可能小于4m/s D．加速度的大小可能大于10m/s

2．物体的位移随时间变化的函数关系是s(4t2t2)m，则它运动的初速度、加速度分别是（ ）

A．0,4m/s B．4m/s,2m/s C．4m/s,1m/s D．4m/s,4m/s

3．物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第2s内位移为s，则物体运动的加速度大小为（ ）

A．22222222s32 B． C．s D．s

s2237

4．两物体都做匀变速直线运动，在给定的时间间隔内（ ）

A．加速度大的，其位移一定也大 B．初速度大的，其位移一定也大

C．末速度大的，其位移一定也大 D．平均速度大的，其位移一定也大

5．汽车以20m/s

的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5m/s，那么开始刹车后2s与开始刹车后的6s汽车通过的位移之比为（ ）

A．1：1 B．3：1 C．3：4 D．4：3 6．一小球从斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动，经过2s到达斜面中点，那么物体滑到斜面底端的总时间为 s。

7．某市规定，卡车在市区内行驶速度不得超过40km/h

，一次一卡车在市区路面紧急刹车后，经1.5s停止，量得刹车痕迹长s9m，问这车是否违章 ，假定卡车刹车后做匀减速运动，可知其行驶速度达 km/h。

8．长100m的列车通过长1000m的隧道，列车刚进隧道时的速度是10m/s，完全出隧道时的速度是12m/s，求：（1）列车过隧道时的加速度是多大？（2）通过隧道所用的时间是多少？

9．飞机着地后以6m/s的加速度做匀减速直线运动，若其刚着地时的速度为60m/s，求：（1）它着地后12s内滑行的距离；（2）停止运动前4s内飞机滑行的距离。

10．某种型号的飞机起飞滑行时，从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为4m/s，飞机的滑行速度达到85m/s时离开地面升空，如果在飞机达到起飞速度时，突然接到指挥塔的命令停止起飞，飞行员立即制动飞机，飞机做匀减速直线运动，加速度的大小为5m/s，如果要求你为该型号的飞机设计一条跑道，使在这种特殊情况下飞机不至于滑出跑道，你设计的飞机跑道的长度至少为多长？

8 2222

11．汽车以10m/s的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后经2s速度为6m/s，求：

（1）刹车后2s内前进的距离及刹车过程中的加速度；

（2）刹车后前进9m所用的时间；

（3）刹车后8s内前进的距离。

答案：

知能准备：1.位移,vt 2.微积分,位移,沿正方向的位移,沿负方向的位移

3.v0t1212at,xv0a,t 4.v2v02ax ,xat2,v22ax

222同步检测:1.B 2.AD 3.D 4.A 5.B 6. 1.5m/s,4s,6m/s,3m/s 7.12.5m/s 8.312.5m 9.98m 综合评价:1.AD 2.D 3.D 4.D 5.C 6.22 7.是,43.2m/s 8.(1)0.02m/s,(2)t=100s 9.(1)300m,(2)48m 10. 1625.6m 11.(1)-2 m/s,16m(2)1s(3)25m

29