12.7 分数指数幂优质课一等奖

《第12章

实数》

单元分析思维导图

邵娅蓓

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12.7 分数指数幂（2）

教学设计说明：

实数的运算，是初中数学的基本技能的重要组成部分.本课时的学习内容是在学习了整数指数幂、分数指数幂和方根的互化等知识点后，对实数的运算进一步开展探讨，提供了一种新的途径. 有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂迁移得来的.学生在上学期学过了整数指数幂的运算性质，但已有一段时期没有练习巩固，大部分同学对该运算性质及其应用有些生疏，所以在本课时的开头部分，设计回顾幂的运算性质，并且由于本节课的内容是围绕幂的运算性质展开的，所以板书在了黑板上，以供学生解题时对照比较. 本课例题的选择是由浅入深，层层递进的.首先是最后结果为无理数的简单的分数指数幂的相关运算，可以直接使用有理数指数幂的运算性质，在巩固运算性质的同时，感悟分数指数幂同样适用整数指数幂的运算性质.接着，出示最后结果是有理数的分数指数幂的运算，这类题各有两种解题方法，让同学们在巩固一般解题方法的同时，知道并掌握进行底数有乘方关系或者指数有倍数关系的幂的运算时，可考虑转化成同底数幂或同指数幂.该例题环节设计了小组合作探究的课堂模式，给予学生独立思考和相互讨论交流的时间，归纳解题方法，体验一题多解的多向思维，培养自主学习探究和合作互助的意识.最后，两道含有方根的算式，因为根指数不同，不能运用已经学过的方根的运算公式，但观察到被开方数之间的关系，可以化归到含分数指数幂的算式后再运用有理数指数幂的运算性质进行计算，从而将开方运算化归到乘方运算. 最后的课堂小结部分由学生畅谈本节课的收获，梳理总结知识点. 教学目标：

1. 掌握有理数指数幂的运算性质. 2. 会根据题目特征，选择恰当的运算法则和方法进行计算，并能运用方根与幂的互化进行相关运算. 3. 经历分数指数幂的运算，体验一题多解的多向思维，感知化归的数学思想，提高解决问题的能力. 4. 在小组内合作探究的过程中，取长补短，交流讨论，培养自主学习和合作互助的意识. 教学重点：

运用有理数指数幂的运算性质进行计算. 教学难点：

会根据题目特征，选择恰当的运算法则和方法进行计算.

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教学过程：

教师活动

一、

复习引入

上节课，我们为了能把方根转化成幂的形式，就把幂的指数的取值范围从整数扩大到了分数，从而引进了分数指数幂的概念，请同学们通过字母表达式说一说方根和分数指数幂是如何互化的？

预设：

nman设计意图

am1(a0)

namman(a0)

通过回顾整数指数幂的运算性质，迁移得出分数指（其中m、n为正整数，n1）. 分数指数幂和整数指数幂统称为什么呢？

二、例题讲解

我们上学期学习过的整数指数幂的运算性质，对有理数指数幂同样适用.你能说说有理数指数幂的运算性质吗？

预设：

1、同底数幂的乘(除)法：aaa2、幂的乘方：apqpq,aaappqpq.

数幂的运算性质.

同底数幂的除法可以转化成同底数幂的乘法，商的乘方可以转化为积的乘方.

若学生归纳的不完整，教师再补充.

pqapq.pppqaa3、积(商)的乘方abab,p.bb么？

预设：

a0,b0,p、q为有理数下面我们尝试运用幂的运算性质进行相关计算. 例1计算（结果用含幂的形式表示）：

（1）(8)13指数p和q的取值范围是多少？底数a和b的取值范围是多少？为什213412；

提高运用分数指数幂运算性质的能力.

帮助学生归纳，加深对有理数指数- 3 - （2）55；

（2）666； （3）124. 每小问提问：这是什么运算？运用哪条运算性质和法则进行计算？计算过程是什么？

【适时小结】

13134535

分数指数幂计算的一般步骤：

（1）判断是什么运算；

（2）选择恰当的运算性质和法则计算. 指数相同的幂相乘时，可以逆用积的乘方计算. 书写时建议将指数运算的过程写出来，避免错误.

例2

计算：

（1）232；

（2）5252332341212幂运算性质的进一步运用.

根据题目特征，熟练、正确运用有理数指数幂的运算性质，并能灵活恰当的方法进行计算.在交流合作中，体验一题多解的多向思维.

可以利用有理数指数幂的运算性质解决含方根的算式的运算问题，体验运用有理数指数幂进行计算的便捷. ；

（46）.

（3）先独立完成，再5~6人一组交流汇总解题方法，共计10分钟，讨论结束后请小组代表上台交流，讲清楚运用什么运算性质进行计算，并对每道题解法总结归纳，教师适当补充，预计8分钟. 【适时小结】

特别的，如果几个幂之间存在特殊的关系，比如底数有乘方关系，指数有倍数关系，等等，可以选择先将幂转化成底数相同或是指数相同的形式，再进行运算.

上节课我们学习分数指数幂前提过这样一个问题：开方运算和乘方运算互为逆运算，那么开方运算能否转化成乘方运算呢？下面我们来看这样一组题：

例3 计算：

（1）232；

（2）279. 问1：这几题是含方根的算式，我们学过方根的乘除运算公式4313-3abab，这两个公式吗？

aa

(其中a0，b0)，这几道题可以使用bb

问2：这几题的方根有什么特点呢？

问3：能否转化成我们学过的其它形式解决呢？

问4：每一步先讲做什么或是运用什么运算性质，再计算.

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【适时小结】

对含有方根的算式，可以转化成分数指数幂的形式，即把开方运算化归到乘方运算，再利用幂的运算性质进行计算，所得结果中若有分数指数幂一般应化为方根.

三、课堂练习

n若53273，则n=_______.

梳理知识点，培养学生归纳反思的能力．

四、课堂小结 通过今天的学习你有什么收获？

五、作业布置

1、练习册17.6（2）；

2、学习单17.6（2）. 板书设计：

=】=

分数指数幂（2）

12.7 一、有理数指数幂的运算性质：

1、同底数幂的乘(除)法：apaqapq,apaqapq.

pq2、幂的乘方：aapq.

p

aapppq3、积(商)的乘方abab,p.

bb(a0,b0,p、q为有理数)

二、幂的运算

1、指数相同的幂相乘，可逆用积的乘方. 2、底数有乘方关系或者指数有倍数关系的，可转化成同底数幂或同指数幂. 3、含方根的算式，可转化成幂的运算.

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