解决问题教案推荐

圆的面积综合应用

1.让学生结合具体情景认识与圆相关的组合图形的特征,掌握“外方内圆”和“外圆内方”的图形的面积计算方法。

2.在解决实际问题的过程中,通过独立思考、合作探究、讨论交流等活动,培养学生分析问题和解决问题的能力。

3.渗透传统文化的教育,通过体验图形和生活的联系感受数学的价值,提升学习的兴趣。

【重点】

掌握“外方内圆”和“外圆内方”的图形面积计算方法。

【难点】

对组合图形进行分析。

【教师准备】

PPT课件、实物展台

方法一

1.教师介绍:古时候,由于人们的活动范围狭小,往往凭自己的直觉认识世界,看到眼前的地面是平的,以为整个大地是平的,并且把天空看做是倒扣着的一口巨大的锅。我国古代有“天圆如张盖,地方如棋局”的说法。虽然这种说法是错误的,却产生了深远的影响,尤其体现在建筑设计上。

(课件展示图片)师生共同分析,抽象出基本的图形。

预设

生1:第一个图案的外面是正方形、里面是圆形。

生2:第二个图案的外面是圆形、里面是近似的正方形。

生3:第三个图案的外面是长方形、里面是圆形。

生4:第四个图案的外面是正方形、里面是圆形。

生5:第五个图案的外面是圆形、里面是正方形。

2.了解特征。

(课件出示教材例3中的雕窗插图)

师:观察这两个雕窗图案,说说这两种设计有什么联系和区别?

预设

生1:它们都是由圆和正方形组合而成的。

生2:第一个图案的外面是正方形、里面是圆形。

生3:第二个图案的外面是圆形、里面是正方形。

师:根据它们的特征,我们可以分别称为“外方内圆”和“外圆内方”。

3.回顾旧知,引入新课。

(1)师:回忆一下,正方形、圆及圆环的面积计算公式是什么?

预设

生1:圆的面积公式是:S=πr。

2生2:正方形的面积公式是:S=a。

2生3:圆环的面积公式是:S=π(R-r)。

22(2)师:观察“外方内圆”和“外圆内方”的两种图案,我们怎样才能计算出正方形和圆形之间的那部分面积呢?这节课我们就来探索这类问题的解决方法。(板书课题)

[设计意图]

由两个方面的知识导入,一是图案的特征,二是正方形、圆和圆环的计算方法。这样能让学生发现生活中的问题,也为学生的新知学习做好铺垫,即解决这类问题就如计算圆环的面积方法那样,用外面的图形面积减去里面的图形面积。并且学生已经掌握了正方形和圆的面积计算方法,通过迁移和类推能很好地理解和掌握解决问题的方法。

方法二

师:前面我们已经学习了圆环的面积计算方法,试着解决下面的问题。(课件出示)

求下面图形中阴影部分的面积。(单位:cm)

师:遇到难题了吗?

预设

生:第二个图和前面的不一样。

师:我们先来解决第1个图的阴影部分的面积。

预设

生1:先算出外圆的面积是3.14×4=50.24(cm);再算出内圆的面积是3.14×2=12.56(cm);最后用外2222圆的面积减去内圆的面积是50.24-12.56=37.68(cm)。

2生2:我是用公式:S=π(R-r)来计算的,3.14×(4-2)=37.68(cm)。

22222师:第二个图中阴影部分的面积不会计算吗?小组讨论交流,看能不能找到解决的方法。

预设

生:可以用外面正方形的面积减去里面圆的面积。

师:真棒!能够运用知识的迁移和类比来解决新问题。

师:这些图案来自于中国古建筑的设计。

(课件出示)

师:观察这些图案,你能抽象出其中的基本图形吗?

预设

生:第一个图案的外面是正方形、里面是圆形。

……

师:下面的这两个图案,有什么异同?

师:根据它们的特征,我们可以分别称为“外方内圆”和“外圆内方”。今天我们就尝试着解决有关它们的问题。(板书)

[设计意图]

由复习巩固圆环的面积计算方法顺势迁移到“外方内圆”的面积计算方法。这是类比思想的运用。

一、阅读与理解

1.课件出示“外方内圆”的图形。

(1)学生观察图形、思考、小组讨论:正方形与圆之间部分的面积是哪一部分?怎样计算阴影部分的面积?(课件出示问题)

(2)交流。

预设

生1:正方形与圆之间部分的面积是阴影部分的面积,也就是正方形比圆多的面积。

生2:正方形的面积-圆的面积=正方形与圆之间部分的面积。

2.课件出示“外圆内方”的图形。

师:说说你的想法。

预设

生1:正方形与圆之间部分的面积是阴影部分的面积,也就是圆比正方形多的面积。

生2:圆的面积-正方形的面积=正方形与圆之间部分的面积。

二、分析与解答

1.计算“外方内圆”的图形中正方形与圆之间部分的面积。

(1)师:计算圆和正方形的面积需要什么条件?你能找到吗?

(2)学生独立计算,小组交流。

(3)汇报交流。

预设

生:2-3.14×1=0.86(m)。

222师:我有一些不理解,谁来介绍思维过程?

预设

生:2求的是正方形的面积,因为正方形的边长是圆的直径,圆的半径是1 m,那么它的直径就是2 m,2正方形的边长也就是2 m。圆的面积是3.14×1,最后用正方形的面积4减去圆的面积3.14,就得到阴影部分2的面积是0.86 m。(板书)

2师:嗯,思路清晰,解释合理,老师懂了,你们弄明白了吗?

[设计意图]

先让学生看图理解阴影部分面积的算法,再独立尝试,最后交流时,学生要表述出基本的思路,这样一次又一次巩固对“外方内圆”图形的理解。

(4)巩固练习。

求下面图形中阴影部分的面积。(单位: m)

学生独立解决,再全班交流。

【参考答案】

6×6=36(m)

6÷2=3(m)

3.14×3=28.26(m)

36-28.26=7.74(m)

22222.计算“外圆内方”图形中正方形与圆之间部分的面积。

(1)师:尝试解决这个图中的阴影部分的面积。

(2)学生尝试,小组讨论。

(3)师:我看你们很多同学遇到了难题。说说有什么解决不了的问题,我们一起讨论。

预设

生:正方形的对角线等于圆的直径,正方形的边长求不出来。

师:我们还可以运用分割法,把正方形分成什么图形?

预设

生1:两个三角形。

生2:四个三角形。

师:再仔细思考,求三角形的面积有办法吗?

预设

生1:分成两个三角形,每个三角形的底是圆的直径,高是圆的半径,可以先求出一个三角形的面积,再乘2。

生2:分成四个三角形,每个三角形的底和高都是圆的半径,可以先求出一个三角形的面积,再乘4。

师:根据实际的问题,我们有时要转变思想,换个角度思考,也许就能找出解决的办法。

师:独立解决问题吧!

(4)学生独立计算,小组交流。

(5)汇报交流。

预设

生1:我算的是分成两个三角形的情况,先求出圆的面积:3.14×1=3.14(m),再算出两个三角形的面22积和,也就是里面正方形的面积:的面积:3.14-2=1.14(m)。(板书)

2×2=2(m),最后用圆的面积减去里面正方形的面积,得到阴影部分2生2:分成四个三角形,每个三角形的底和高都是圆的半径,可以先求出一个三角形的面积是半径乘半径乘,即1×1×,那么四个三角形的面积是1×1××4=2(m),圆的面积是3.14 m,减去2 m,就是1.14 m。(板书)

2222[设计意图]

先让学生尝试,学生会受前面“外方内圆”图形的影响,用圆的面积减去正方形的面积,但是正方形的边长却没有给出,学生会造成思维冲突,要寻求解决的途径。教师适时加以引导,给学生的思维找到突破口,这样学生的记忆会很深刻。寻求多种方法解题,可以提高学生的发散思维能力。

(6)巩固练习。

求下图中阴影部分的面积。

学生独立解决,全班交流。

【参考答案】

5×2=10(cm)

10×5÷2×2=50(cm)

3.14×5=78.5(cm)

78.5-50=28.5(cm)

2222

3.回顾与反思。

(1)如果“外方内圆”和“外圆内方”两种图形中的圆的半径都是r,怎样计算呢?

学生先独立思考,并自己归纳。

(2)教师小结规律及方法:(板书)

外方内圆:(2r)-3.14×r=0.86r

222外圆内方:3.14×r-2×2=1.14r

222(3)师:当r=1时,计算的结果是多少?与前面的计算一样吗?说明什么?

生:当r=1时,计算结果分别是0.86 m,1.14 m,一样,说明我们的计算公式正确,计算也正确。

教材第70页“做一做”。

学生读题,理解题意。

独立完成,指名两位同学上台板演。

集体订正。

【参考答案】

外面的圆面积:3.14×(24÷2)=452.16(cm)

内部的正方形面积:24×(24÷2)÷2×2=288(cm)

222452.16-288=164.16(cm)

2

师:这节课我们分析了与“外方内圆”和“外圆内方”两种图形有关的面积问题。你学会了吗?说说你的收获,还有什么疑问?

生1:我觉得“外方内圆”的这种图形中的圆与正方形之间的面积比较好计算,“外圆内方”的这种图形中的圆与正方形之间的面积不太好计算。我还有一点迷糊。

生2:我的收获是,对于特殊的图形面积,我们不能直接用公式计算出来时,就要进行转化,转化成求我们所熟悉的、能解决的图形的面积。

生3:……

作业1

教材第72页练习十五第9,10,11题。

作业2

【基础巩固】

1.(基础题)求下面图形中阴影部分的面积。(单位:m)

【提升培优】

2.(重点题)如下图所示,圆的半径是5 cm,先把圆与正方形之间的部分涂上颜色,然后求出涂色部分的面积。

3.(重点题)如下图所示,圆的半径是8 cm,先把圆与正方形之间的部分涂上颜色,然后求出涂上颜色部分的面积。

【思维创新】

4.(重点题)如下图所示,一颗铆钉的“头”部是“外圆内方”形的,正方形的边长是3 mm,圆的直径是6 mm,这颗铆钉“头”部的面积是多少?

【参考答案】

作业1:9.3.14×(22.5÷2)-6×6=361.40625(mm)

2210.C=100×2+3.14×32×2=400.96(m)

S=100×32×2+3.14×32=9615.36(m)

11.C=3.14×1×2=6.28(m)

2222S=3.14×(1÷2)×2+1×1=2.57(m)

作业2:1.8×8-3.14×8÷4=13.76(m)

2.(涂色略)(5×2)=100(cm)

3.14×5=78.5(cm)

100-78.5=21.5(cm)

22222223.(涂色略)3.14×8=200.96(cm)

8×2×8÷2×2=128(cm)

200.96-128=72.96(cm)

22224.3.14×(6÷2)=28.26(mm)

3×3=9(mm)

28.26-9=19.26(mm)

2222

1.通过引导学生经历解决问题的全过程,积累解决问题的经验。

整节课,教师教学的主线就是解决问题的三大步骤:阅读与理解、分析与解答和回顾与反思。学生在进行这样有序的思考问题后,会形成解决问题的基本流程,逐步养成较好的解题习惯,同时提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

2.学习过程中以学生为主体,教师适时引导。

本课时,教师用问题引导、独立尝试、小组讨论、全班交流等形式,让课堂活跃起来,并且该放则放、该扶则扶,适时引导。比如在“外圆内方”图形的引导时,教师先放手让学生独立解决,当形成问题冲突时,教师引导学生用分割法来思考问题,学生会很快找到解决问题的途径,即把正方形分成两个相同的三角形或四个相同的三角形。这样既能提高学生思考问题的能力,也能带给学生成功的体验。