4.5分段函数教案设计

新课标(XJ)

数学

八年级下册

典案一

教学设计

课题

第1课时

利用一次函数解决实际问题（1）

知识技能

教

学

目

标

数学思考

问题解决

授课人

1.进一步让学生掌握分段函数及多种函数的识图与应用能力．

2．能利用函数图象解决线段相交的实际问题.

通过比较不同函数模型或函数图象转化为方程组或不等式组解决实际问题的思考.

让学生通过不同的函数表达式或不同的函数图象信息，进行综合解决实际问题.

通过函数图象及函数表达式解决实际问题，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，从而培养学生学习数学的兴趣，使他们能积极参与数学活动，进而更好地解决实际问题.

情感态度

教学

通过建立不同的函数模型进行综合应用.

重点

教学

根据自变量的不同取值范围求函数模型的应用.

难点

授课

类型

教具

教学

步骤

回顾

新授课

三角板(多媒体：PPT课件、几何画板)

教学活动

师生活动

一次函数表达式y＝kx＋b(k≠0)，如果知道了k与b的值，函数表达式就确定了，那么由怎样的条件才能求出k和b的值呢？

设计意图

直接点明题意，将学生引到应用的主旨中来.

课时

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1

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(续表) 【课堂引入】

已知一个一次函数，当自变量x＝－2时，函数值y＝－1，当x＝3时，y＝－3.你能否写出这个一次函数的表达式呢？

活动

一：

创设

情境

根据一次函数的定义，可以设这个一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，问题就归结为如何求出k与b的值. 由已知条件当x＝－2时，y＝－1，得－1＝－2k＋b；

由已知条件当x＝3时，y＝－3，得－3＝3k＋b. 重温待定系数法，利用建模的思想去引导学生求函数表达式，让学生树立转－1＝－2k＋b，导入

两个条件都要满足，即解关于k，b的二元一次方程组

化的重要思想.

－3＝3k＋b，新课

2k＝－，529解得所以一次函数的表达式为y＝－x－.

559b＝－，5【探究1】

一次函数的分段表达式的实际应用

见教材P133“动脑筋”问题中的分段函数问题. (鼓励学生自己动手，在列函数表达式的基础上，进一步通过函数图象去说明实际性问题) 【探究2】

用一次函数解决实际问题

如图4－5－3，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空. 活动

二：

实践

探究

交流

新知

图4－5－3 (1)当销售量为2吨时，销售收入＝________元，销售成本＝________元；

(2)当销售量为6吨时，销售收入＝________元，销售成本＝________元；

(3)当销售量等于________时，销售收入等于销售成本；

(4)当销售量________时，该公司赢利(收入大于成本)；当销售量________时，该公司亏损(收入小于成本)；

(5)l1对应的函数表达式是________；

l2对应的函数表达式是________________. 教师强调：当涉及两个函数问题时，要注意横、纵轴对于每个函数的不同意义. 1.横、纵轴表示的意义：横轴表示的是______________，纵轴表示的是______________. 2.直线与坐标轴的交点表示的意义：

(1)l1与坐标轴的交点坐标是______________，表示的意义是________________.

1.在实际问题中，自变量的取值范围不同，函数的表达式也就不同，经历分段函数的运用，培养了学生分类讨论的思想.

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(续表) (2)l2与坐标轴的交点坐标是______________，表示的意义是__________________．

解：(1)当销售量为2吨时，销售收入＝2000元，销售成本为3000元；

(2)当销售量为6吨时，销售收入＝6000元，销售成本＝5000元；

2.培养学生的识图能力和

活动

二：

实践

探究

交流

新知

图4－5－4 (3)当销售量等于4吨时，销售收入等于销售成本；

(4)当销售量大于4吨时，该公司赢利，当销售量小于4吨时，该公司亏损；

(5)l1经过原点和(4，4000)，设表达式为y＝kx，把(4，4000)代入，得4000＝4k，所以k＝1000. 所以l1的表达式为y＝1000x，l2经过点(0，2000)和(4，4000)，设表达式为y＝ax＋b. b＝2000，①根据题意，得

4a＋b＝4000.②把①代入②，得4a＋2000＝4000，解得a＝500. 所以l2的表达式为y＝500x＋2000. 想一想

上题中，l1对应的一次函数y＝k1x＋b1中，k1和b1的实际意义各是什么？l2对应的一次函数y＝k2x＋b2中，k2和b2的实际意义各是什么？

【应用举例】

例1

[教材P134例1]

甲、乙两地相距40 km，小明8：00骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8 km/h；小红10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40 km/h.设小明所用的时间为x(h)，小明与甲地的距离为y1(km)，小红离甲地的距离为y2(km)．

活动

三：

开放

训练

体现

应用

(1)分别写出y1，y2与x之间的函数表达式；

(2)在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地．

变式

旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李．如果所带行李超过了规定的重量，就要按超重的千克收取超重行李费．已知旅客所付行李费y(元)可以看成他们携带的行李质量x(千克)的一次函数，其表达式1为y＝x－5.画出这个函数的图象，并求旅客最多可以免费携带多少千6克的行李．

解析：求旅客最多可以免费携带多少千克的行李，即行李费为0元时的行李质量．为此只需求一次函数与x轴的交点横坐标的值即可．当y＝0时，x＝30.由此可知这个函数的自变量的取值范围是x≥30.

探究能力，调动学生学习的自主意识．通过一连串问题的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决这个问题．在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力.

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(续表) 1

解：函数y＝x－5(x≥30)的图象如下：

6让学生明确在实际问题中利用一次函数图象的特点，如交点、与x轴的交点，与y轴的交点等特殊坐标去建立方程等式，利用图象法或待

图4－5－5 活动

三：

开放

训练

体现

应用

当y＝0时，x＝30.所以旅客最多可以免费携带30千克的行李. 【拓展提升】

例2

[威海中考]

为绿化校园，某校计划购进A，B两种树苗，共21棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．

(1)y关于x的函数表达式为__________________；

(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

解：(1)y＝－20x＋1890

(2)由题意，知x＜21－x，解得x＜10.5.又∵x≥1，∴x的取值范围是1≤x≤10且x为整数．由(1)知对于函数y＝－20x＋1890，y随x的增大而减小，∴当x＝10时，y有最小值，y最小＝－20×10＋1890＝1690.故使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元. 当堂训练：P134练习T1，T2. 作业布置：P139习题4.5A组T1，T2，B组T6. 【知识网络】

当堂检测教学效果，及时反馈教学情况，有利于学生查漏补缺.

在应用举例的基础上拓展延伸，特别针对图象与方程，图象与不等式，图象与两坐标轴的交点坐标，进行综合归类，汇总训练，有利于学生的全面提高.

定系数法来求未知数或函数的值.

活动

四：

课堂

总结

反思

归纳知识要点，突出教学重点，掌握教学方法，规范学生解题格式.

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(续表)

【教学反思】

①[授课流程反思]

导入采用简洁的话语，以教材的例题为中心，突出一次函数与实际相结合，从计算的角度引导学生思考问题，突出函数的应用性．

②[讲授效果反思] 分段函数在求表达式时是一个难点，在实际应用中，我们一活动

定要依据自变量的取值范围，以不同的角度去构建函数模在求两个函数的交点问题时，我们要引导学生建立方程四：

型．课堂

组，通过方程和数形结合的思想去化解难点问题．

总结

③[师生互动反思] 也是一个难点问题，在教学反思

应用性问题是一个综合性问题，时要采用先简单后复杂的方式逐步调动学生的学习积极性．本教学显得有点难度，学生对于从函数图象中读取数据能力较差，以后在教学中要多加训练，逐步提高学生分析图形的能力．

④[习题反思] 好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________

教学以平铺直入为主，重在突出其应用性，结合教学反思，提炼出优秀的教学案例，使教学能适应不同层次的学生，在便于接受的基础上，广泛地开展教学.

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