解决问题课堂实录

圆的面积---解决问题的教学设计

姓名:王花 冷水滩区蓝天学校 电话:15574694776 QQ:1068066700 教学内容:本节课教学内容是人教版数学六年级上册教材第五单元圆第69页例3及相关练习。

一、教材分析

本节课教学内容是人教版数学六年级上册教材第五单元圆第69页例3,这一内容是在学习了圆的面积与圆环及扇形面积的计算之后的学习内容，计算“外方内圆”和“外圆内方”特殊组合图形面积的方法，它既是对圆面积的巩固又是用圆面积解决问题能力的提升。它还会是六年级下册学习圆柱知识的铺垫如正方体切一个最大的圆柱，圆柱的底面直径就是正方体的棱长。

二、学情分析

（一）本节课“解决问题”的教学是在六年级上册“圆”中，计算“外方内圆”和“外圆内方”特殊组合图形面积的方法，这一内容是在学习了圆的面积与圆环及扇形面积的计算之后的学习内容，学生对圆的面积计算公式掌握得比较好了，这节课中求圆的面积和正方形的面积比较容易，只是求圆的面积和正方形的面积需要的条件在图中比较难找到，因此设计了学生自己动手操作设计“外方内圆”和“外圆内方”的组合图形，自己发现感知并找到解决问题的条件和数值，这样学生容易理解并掌握知识。合作探究学习，若对于经常用的孩子们，小组合作学习的组长组织井然有序，解决问题的分析法和综合法及其解题步骤，孩子们应用也比较熟练的，孩子们学起来应该是轻松而愉悦的（就如我班的孩子们）。若从来没有进行小组合作探究学习的孩子只是还需要老师课前分好组选好组长，培训好组长，老师课堂注重引导，孩子们也会轻松解决问题的。

（二）学生学习该内容的困难：在小组合作过程中，由于孩子在圆的面积的计算的练习中已经对正方形里画一个最大的圆有初步的了解了，所以在动手操作过程中还是没有多大的困难的，只是圆里画一个最大的正方形孩子对于正方形四个直角顶点的确定有点困难；小组合作探究解决问题的过程中，有些学习困难的学生小组合作能力偏弱，自己动手操作感知发现找圆的直径和正方形面积计算的条件及总结规律有些困难。

（三）学生学习的兴趣：

1、自己动手操作设计“外方内圆”和“外圆内方”的图形

，对小组合作很感兴趣。

2、通过设计图形，知道了“外圆内方”和“外方内圆”的图形特点，并利用发现感知的解决问题的条件来解决问题，对这个知识感到有趣，还有成就感。

（四）学习方式和学法：主要是利用了小组合作学习、讨论交流解决问题

。

三、教学目标

知识与技能：

1、让学生结合具体情境认识组合图形“外方内圆”和“外圆内方”的特点，掌握计算“外方内圆”和“外圆内方”图形面积的方法。

2、通过自主合作，培养学生独立思考、小组合作探究解决问题的习惯。

过程与方法：

1、通过操作、感知、探索、发现、交流等活动，培养学生独立思考、合作创新的意识和灵活运用知识解决问题的能力。

2、进一步发展学生的空间观念和分析能力。

情感态度与价值观：

通过学生亲身参与探究活动，让学生在解决实际问题的过程中，进一步体验图形和生活的

联系，感受平面图形的学习价值，提高学习数学的兴趣和学好数学的信心。 教学难点：会求圆与外切正方形、内接正方形之间的面积,把圆的面积计算公式很好地运用到实际问题中去。

突破方法：

结合具体情景，动手设计“外方内圆”和“外圆内方”的图形，迁移学习引导学生运用已掌握的计算圆、正方形、三角形等规则图形面积的方法求“外方内圆”和“外圆内方”不规则图形面积的解题思路和方法，在多个探究圆的面积公式的活动中，思考圆的半径、周长、面积之间的关系。

教学准备: 1)教师:给毎小组准备一张边长为2dm的正方形白纸、课件、事先设计的“外方内圆”“外圆内方”的图形。

2)学生：直尺、圆规、水彩笔

教学过程： 一、【温故知新直导课题】 1、复习旧知： 1、

正方形面积的计算，需已知什么条件？计算公式是什么？

2、

圆的面积计算，需已知什么条件？计算公式是什么？

2、直接导入课题: 孩子们对于前面学习的知识掌握得非常不错，今天我们利用这些知识来解决一些关于正方形和圆的问题好吗？板书课题：圆的面积---解决问题 【设计意图：复习巩固正方形和圆的面积计算公式，一是为熟练计算正方形与圆之间的面积做准备，二是让学生潜意识的明白在后面的设计操作中找到哪些解决问题需要的条件。】

二、【情景设计观察发现】

1、谈话：请大家欣赏下面这两张图片。两种设计（这两幅图）有什么联系和区别? 预设 1:左边的雕窗外面是方的里面是圆的;右边的雕窗外面是圆的里面是方的。

师:我们可将上述特征分别概括地称为“外方内圆”“外圆内方”。板书：外方内圆

外圆内方

预设 2:都是由圆和正方形这两个图形组成的。

师:也就是我们以前学过的什么图形?(组合图形）

（联系：都是圆和正方形组成。区别：图1“外方内圆”，图2“外圆内方”）

2、小结:中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。举一两个例说说

。

3、学生初步从形状上感知“外方内圆”和“外圆内方”的图形的特点。

提问：你们有进一步的发现吗？

预设1学生回答：“外方内圆”，

正方形中画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长（这特点学生能说出更好说不出不强求学生动手操作中会感知的）老师明确告诉学生：外方内圆的图形称为圆外切正方形。

预设2学生回答：“外圆内方”，圆中画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的对角线（这特点学生能说出更好说不出不强求学生动手操作中会感知的）老师明确告诉学生：外圆内方的图形称为圆内接正方形。

【设计意图：让学生初步感知“外方内圆”“外圆内方”图形的特点，为设计图形做好基本的铺垫，也让学生对自己现在的感知发现在后面的设计中得以证实。】 三、【设计图形发现感知】

1、提问导入课题内容:你们想自己设计创作这样的“外方内圆”和“外圆内方”的图形吗？（设计意图：引导学生将实物图转化为数学图） 2、设计“外方内圆”的图形和“外圆内方”的图形。

a提出设计要求： 这两幅雕窗图美丽吗？谁能说说这

1)在边长为2dm的正方形纸上设计出一个最大的“外方内圆”的图形和“外圆内方”的图形。 2)小组合作讨论交流说说自己打算怎么画后合作完成设计图形。 3)图形设计完后说说自己从中发现了什么？ b学生小组讨论合作学习完成设计。

c学生反馈：

说说自己如何设计“外方内圆”的图形的？从中发现了什么？

主要说出正方形中最大的圆的圆心和半径（直径）如何找到的？（正方形对角线的交点为圆心，正方形的边长为直径画一个圆）

说说自己从中发现了什么？（学生小组代表发言说发现鼓励越详细越好）

师小结发现：设计“外方内圆”的图形主要找到圆的圆心的位置和半径的长度；“外方内圆”的图形是一个正方形内有一个最大的圆，正方形的边长就是圆的（直径）是2dm ，

圆的半径是1dm，正方形的对角线的交点是圆心

。板书：d=a r=a2

说说自己如何设计“外方内圆”的图形的？从中发现了什么？主要说出圆内最大的正方形的四个角的顶点如何找到的？（说出作图的方法并明确圆的直径等于正方形的对角线）说说自己从中发现了什么？（学生小组代表发言说发现鼓励越详细越好）

学生代表小结（预设）：（内容全面到位即可）设计

“外圆内方”的图形主要找到正方形四个角的顶点在圆上的位置。圆对折两次的交点是圆心，折痕是圆的直径也是正方形的对角线，连接直径与圆上的四个交点就是正方形。一条对角线把正方形平分为两个等腰直角三角形，三角形斜边上的高是圆的半径。 【设计意图：

学生通过设计图形发现感知进一步理解掌握了“外方内圆”和“外圆内方”的图形的特点，“外方内圆”的图形是一个正方形内有一个最大的圆，正方形的边长就是圆的（直径）“外圆内方”中圆的直径是正方形的对角线

，为熟练的解决问题加快了步伐动手操作的过程是从实物中抽象出图形的过程,使学生充分体会图形的组合与位置关系, 理解组合图形面积的产生。

与此同时, 激活了原有的关于组合图形的认识,找到了新知的生长点。】

过渡：孩子们，你们真是善于动脑筋善于发现的孩子，你们真是未来的数学家。你们愿意用自己的发现去解决数学问题吗？

四、【结合发现探究解题】

（一）小结孩子的发现提出问题导入课题：

1）将图形分解，分解为同一个圆的外切正方形“外方内圆”和内接正方形“外圆内方”

（小组合作完成）老师也跟你们一样设计了“外方内圆”和“外圆内方”。在黑板上贴图。

2）分解后的图中（即你们自己设计的“外方内圆”和“外圆内方”的图形为了方便“外方内圆”标上图(1）“外圆内方”标上图2）两个圆的半径都是1dm，怎样求正方形和圆之间部分的面积呢？你们能解决这个问题吗？板书：正方形和圆之间部分的面积

(二）启迪孩子分析问题及解题的方法：

1、阅读理解：找出问题和已知条件。（指名学生回答）已知条件：（明）两个圆的半径都是1dm，（隐）“外方内圆”中正方形的边长就是圆的直径是2dm ，圆的半径是1dm。“外圆内方”中圆的直径是正方形的对角线，一条对角线把正方形平分为两个等腰直角三角形，对角线是等腰直角三角形的底边，三角形斜边上的高是圆的半径。

问题：求正方形和圆之间部分的面积。提问：正方形和圆之间的部分的面积是指哪些呢？理解：图(1)求的是正方形比圆多的面积，图(2)求的是圆比正方形多的面积。

2、分析解答

图1：“外方内圆”中求正方形和圆之间部分的面积

1）提问：正方形的边长是多少呢？（正方形的边长就是圆的直径。）

2）组织学生小组分析题意讨论计算方法

。

3）学生分析（指名学生分析梳理解题思路）。

正方形和圆之间部分的面积

正方形比圆多的面积

正方形的面积 ---- 圆的面积

3）解答问题：正方形的面积－圆的面积=正方形和圆之间部分的面积。

2×2＝4（dm²） 3.14×1²＝3.14（dm²）

4－3.14＝0.86（dm²）

学生上黑板板书计算过程。

图2：“外圆内方”中求正方形和圆之间部分的面积

1）提问：解决问题的关键在于求正方形的面积，上图中正方形的边长是多少呢？在右图中你能得出正方形的边长吗?(不能)该如何计算正方形的面积呢? 让学生明白不可能通过边长求面积了。

预设 1:可以把右图中的正方形看成两个三角形。

追问:三角形的底和高分别是多少?相当于什么?(底是 2 m ,高是 1 m ,相当于圆

的直径和半径。) 结合学生回答课件展示。

2）组织学生分析题意讨论计算方法

。

3）解答问题：圆的面积－正方形的面积=正方形和圆之间部分的面积。

学生：（用分析法分析题意）

学生：可以将上图中的正方形看成两个三角形，它的底和高分别是圆的直径和半径。根据三角形的面积=ah÷2，便可以计算出正方形的面积。学生上黑板板演：

(122×2×1)×2=2(dm) 3.14-2=1.14(dm) 2预设 2:也可以看成四个三角形。

师:这样一来,每个三角形的底和高各是多少呢?相当于什么?(底和高都是 1 m , 相当于圆的半径。) 师:那么,圆与正方形之间部分的面积可以怎样计算?(学生练习,分析订正。) 【设计意图：让学生经历观察思考、分析推理等学习活动,得出图形各要素之间的关系, 自主地运用已有的知识达成问题的解决。

教学过程中, 注重把时间和空间还给学生,用几个简单的设问,引出学生自主思考的过程和探究成果的展示。】

3、优化方法：(让学生构建数学模型）如果两个圆的半径都是r，结果又是怎样的？

图（1）：（2r）²－3.14×r²＝0.86r²

图（2）：3.14×r²－（

1

×2r×r）×2＝1.14r²

2引导学生明白所有“外方内圆”中求正方形和圆之间部分的面积是0.86r²，明白所有“外圆内方”中求正方形和圆之间部分的面积是1.14r²。

4、回顾与反思并写答语。

1）

当r＝1 dm时，和前面的结果完全一致。

2）

作答：图1中正方形与圆之间的面积是0.86 dm²，

图2中圆与正方形之间的面积是1.14 dm²。

图（2）中：圆的面积和正方形面积之比是（π：2 ）（让学生明白计算图形与其他图形的周长或面积之比时，如果没有特殊要求，用π进行计算，而不是用π的近似值3.14进行计算。）

3）

当r＝1 m时，你们会计算吗？（这也是我们书中的例3）学生独立完成后汇报发现结果一样，只是单位不同而已。

4）

给学生一个任意数值计算巩固所有“外方内圆”中求正方形和圆之间部分的面积是0.86r²，所有“外圆内方”中正方形和圆之间部分的面积是1.14r²。

【设计意图：“授人以鱼,不如授人以渔”,在解决具体问题的基础上发现一般的数学规律是本堂课教学的重要内容。

在层层深入的学习过程中, 始终坚持为学生创设探索的情境,利用知识内在的魅力吸引学生主动投入到知识的发展过程中。培养学生独立思考、灵活运用知识解决问题的能力，进一步发展学生的空间观念和分析能力。】

五、【复习巩固应用知识】

1、一张正方形纸，周长是16cm,把它剪成一个最大的圆，这个圆的周长和面积分别是多少？（重点题） 2、一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24 cm。外面的圆与内部的正方

形之间的面积是多少？（重点题）

3、有一块长 20米,宽 5米的长方形草坪,在它的中间安装了一个射程尽可能远的自动旋转喷灌装置,它不能喷灌到的草坪面积是多少?（难点题）小组合作的方式解答

师:求不能喷灌到的草坪面积,就是求什么? 六、【拓展提升】

计算阴影部分的面积。（见课件）

【设计意图：巩固练习的设计选取了2道重点题型和1道难点题型，在于运用新知解决生活中的实际问题,并强调对结果进行验证的意识。

拓展练习采用小组合作的方式解答, 进一步揭示了圆与正方形的面积之间的关系,对于培养学生的合作交流意识、发展数学思维能力等方面具有重要的意义。】

七、【课堂小结】

1、问题解决的四个基本步骤: 第一步：审题

——告诉了我们什么？

要我们去做什么？

第二步：思考

——我准备如何去做？

第三步：解答

——写出我的做法. 第四步：反思 ——反思我的做法. 2、小结课堂内容。

3、同学们，请谈谈这节课你们有哪些收获。

八、【课后作业】

完成教材练习十五第13至17题。

板书设计

圆的面积---解决问题

外方内圆

（圆外切正方形

） 外圆内方（圆内接正方形

）

正方形和圆之间部分的面积

daar2

2

正方形的面积－圆的面积

2×2=4(m)

23.14×12=3.14(m)

4-3.14=0.86(m) 2 圆的面积－正方形的面积 (

附：设计说明：本节课是对圆的面积知识的一个拓展也可以理解为圆与正方形的特殊组合：“外方内圆”和“外圆内方”。本节课我并没有教学书中的例题，因为它的操作性不强正方形的边长1m单位太大

，因此我选择了可操作性强的边长为1dm的正方形白纸，让学生动手操作设计“外方内圆”和“外圆内方”的图形。学生感知发现这两种组合图形的特点来解决问题，使学生能够在理解两种特殊的组合图形特点的基础上应用所学知识轻松解决实际问题。在此基础上学生发现并总结出所有“外方内圆”和“外圆内方”的组合图形的圆与正方形之间的面积关系规律，把教材中的例题作为验证题和练习题出现，巩固了所学知识。

1、借助经验设计图形感知发现，理解图形特点。通过让学生动手操作，使学生感受到“外方内圆”(圆外切正方形)与“外圆内方”(圆内接正方形)都可以理解为圆与正方形的简单组合。借助主题图的演示，激起孩子的设计欲望，让孩子们把具体的实物，自己设计抽象出几何图形，使孩子们进一步感知“外方内圆”(圆外切正方形)与“外圆内方”(圆内接正方形)的特点。

2、尝试应用，掌握方法。以半径为1dm的圆为例，引导学生求出它与外切正方形与圆内接正方形面积的差，学生汇报交流得出结论，体现了重视学生思维发展的过程，同时也发展了学生的空间观念，提高了学生解决问题的能力。

12×2×1)×2=2(m)

23.14-2=1.14(m) 2