2.2.1 直线的参数方程优秀教案

第二讲

参数方程

直线参数方程的变式（第二课时）

一、教学目标

（一）核心素养

通过这节课学习，了解直线参数方程的其它形式、灵活应用参数的几何意义，学会选择适当的参数方程，在逻辑推理、数学抽象中感受参数方程的优越性．

（二）学习目标

1．根据实际问题选择适当的直线参数方程．

2．掌握直线标准参数方程中参数的几何意义，通过参数几何意义，树立数形结合的思想．

3．灵活利用直线参数方程解决有关几何问题，体会参数方程的优越性．

（三）学习重点

1．直线参数方程的应用．

2．直线参数方程中参数的几何意义．

（四）学习难点

1．对直线标准参数方程与其它形式的参数方程之间联系的理解．

2．对直线标准参数方程中参数的几何意义的灵活应用．

二、教学设计

1．知识回顾

读一读：阅读教材第36页至第39页，动画展示直线参数方程标准式的求法。

过定点M0(x0,y0),倾斜角为的直线L的参数方程如何建立？

e(cos,sin)

M0M(x,y)(x0y0)

(xx0,yy0)

由图可以看出：

M0M//ete

存在唯一的实数

t



R

M

M使得0(xx0,yy0)t(cos,sin)

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xx0tcosyy0tsin

教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．

【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．

得出结论：直线的参数方程，定点

M0(x0,y0)倾斜角



直线的参数方程：xx0tcos（t为参数）yy0tsin

填空：

xx0tcos(t为参数)，这种形（1）过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为yytsin0式称为直线参数方程的标准形式．

（2）参数t的几何意义是：直线上的动点M到定点M0的距离等于参数t绝对值，

即|M0M|＝|t|. （3）若t0，则M0M的方向向上；

若t0，则M0M的方向向下；

若t0，则M与M0重合．

2．问题探究

x＝2＋t，

探究：

求直线(t为参数)被双曲线x2－y2＝1所截得的弦长|AB|. y＝3t解答分为错解、正解。由学生做法先给出错误的解答，让学生找毛病，这时有回答对也有回答错的，不给予肯定，接着学习重要结论。

【设计意图】结合实例，设疑，引发学生的学习兴趣，激发学生不断探索．

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3. 重要结论：

x＝x0＋at，给出直线的非标准式参数方程(t为参数)时：

y＝y＋bt0（Ⅰ）当系数b0，根据标准式的特点，参数t的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值，根据

三角函数的性质知其平方和为x＝x0＋1，所以可以化为y＝y0＋a22×a＋bt，22a＋bb22×a＋bt22a＋b

(t为参数)，再进一步令cos α＝ab，sin α＝，根据直线倾斜角的范围让α在[0，π)范围内取a2＋b2a2＋b2x＝x0＋t′cos α，值，并且把a＋bt看成相应的参数t′，即得标准式的参数方程(t′为参y＝y＋t′sin α022

数)．

x＝x0＋at，由转化的过程可以看出，在一般参数方程(t为参数)中，a2＋b2t具有标准y＝y0＋bt式参数方程中参数的几何意义．所以有些较简单的问题可以不必转化为标准形式，而直接求出相应的t，再乘a2＋b2即可继续使用标准形式中参数的几何意义．

（Ⅱ）当b0，将参数方程转化为普通方程，得到直线的斜率ktan步求出cos,sin，从而得出直线标准的参数方程．

b(a0)，在进一a

4. 例题讲解

1x＝1＋t，2πMo(1，3)，倾斜角为，判断方程(t33y＝3＋t2例1 已知直线l过点为参数)和方程x＝1＋t，(t为参数)是否为直线l的参数方程．如果是直线l的参数方程，那么请指出是参数y＝3＋3t方程中的哪种形式，并指出方程中的参数t是否具有标准形式中参数的几何意义．

【解题过程】解析：因为以上两个方程消去参数后，均可以得到直线l的普通方程为

3x－y－3＋3＝0，

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所以以上两个方程都是直线l的参数方程，其中

1x＝1＋t，213是标准形式，

cos α＝，sin α＝，t为参数223y＝3＋t2→参数t的绝对值是有向线段MoM的长度，

x＝1＋t，而方程(t为参数)是非标准形式，

y＝3＋3t参数t不具有上述几何意义．

x＝5＋3t，例2 设直线的参数方程为(t为参数)

y＝10－4t.化参数方程为标准形式．

3x＝5＋3t＝5－×（－5t），5【解题过程】解：把方程变形为

4y＝10＋×（－5t）.534令cos α＝－，sin α＝.

u＝－5t

553x＝5－5u，则参数方程的标准形式为：(u为参数)

4y＝10＋u.5【设计意图】得出同一曲线不同参数方程形式，体会直线参数方程的特点．认识差异、合理运用

【数学思想】转化与化归的思想

x＝x0＋at，回到探究；

(t为参数) 其中x0,y0为直线上定点M0的坐标(x0,y0)，a,b为常y＝y0＋bt数，t为参数，此时参数t没有明确的几何意义，只有当a2b21且b0时,参数t才有意义．

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给出正解：分析：在解题时应先看直线的参数方程是否为标准形式，若不是，应先化为标准形式，然后才能利用t的几何意义．

x＝2＋t，正解：把化为标准形式，

y＝3t得3y＝2t′1x＝2＋t′，2(t′＝2t，t′为参数)，

代入x2－y2＝1，整理得t′2－4t′－6＝0，

由根与系数的关系得t′1＋t′2＝4，t1′t2′＝－6. 由t′的几何意义得|AB|＝|t1′－t2′| ＝（t1′＋t2′）2－4t1′t2′＝210. 易错点：忽略t具有几何意义的前提条件

【易错点解析】t具有几何意义前提条件是直线的参数方程为标准形式．

5. 题组集训：

x＝－1＋3t，1.已知直线l的参数方程为将参数方程化为标准形式并求直线y＝2－t，

l的倾斜角．

π2.直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝6，l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点．求弦长|AB|；

【设计意图】通过本题组训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．

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6. 课堂总结：

知识梳理

xx0tcos(t为参数)与曲线f(x,y)0交于M1,M2两点，对应的参数直线l的参数方程为yytsin0分别为t1,t2，则：

（1）曲线的弦长M1M2

t1t2

（2）线段M1M2的中点M对应的参数t=重难点归纳

x＝x0＋at，（1）直线的非标准式参数方程(t为参数)中的参数t不具有明确的几何意义，必y＝y＋bt0须先化为标准的直线参数方程才能应用．

（2）直线的参数方程应用广泛，特别在计算与圆锥曲线的相交弦长、最值等时，可以利用直线标准参数方程中参数的几何意义，从而简化解题过程，优化解题思路．

t1t2

2

课后作业：

基础型

自主突破

x＝1＋3t，化直线的参数方程(t为参数)为参数方程的标准形y＝3＋6t1.

式．

2.

3. 过点P0(1,0)，倾斜角为的直线l和抛物线y22x相交于A、B两点，求线段AB4的中点M点的坐标。

直线l过点P0(2,4)，倾斜角为，求出直线l上与点P0(2,4)相距为4的点的坐标。

6

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