一元二次方程的概念设计意图

第二章

一元二次方程

1 认识一元二次方程

第1课时

一元二次方程的定义

【知识与技能】

探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】

在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】

通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】

一元二次方程的概念. 【教学难点】

如何把实际问题转化为数学方程.

一、复习

什么是方程？什么是一元一次方程？及相关定义。

二、情境导入,初步认识

问题：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面积为18m2 ，则花边多宽? 你能设出未知数，列出相应的方程吗？

【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫. 三、思考探究，获取新知

你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？

10２＋11２＋12２＝13２＋14２

你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？根据题意，可得出方程。

如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？

做一做：(8 －

2x) (5 －

2x) = 18

x2 －

8x －

20＝0

x2 ＋12 x －15 ＝0 【教学说明】

分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程；

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式

ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）

这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 活动中教师应重点关注：

(1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点；

(2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义；

(3)强调定义中体现的3个特征：

①整式；②一元；③2次. 【教学说明】

让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的. 四、运用新知，深化理解

1.下列方程是一元二次方程的有

（1）x2+1/x-5=0

（2）x2-3xy+7=0 （3）x+x21

=4

（4）m3-2m+3=0 （5）22x-5=0

（6）ax2-bx=4 2

解答：（5）

2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程. 解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠-2时，方程是一元二次方程. 解答：m=-2

m≠-2 3.一元二次方程（x+1）2-x=3（x2-2）化成一般形式是_______. 解析：一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0），对照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得2x2-x-7=0. 解答：2x2－x－7=0 4.把方程-5x2+6x+3=0的二次项系数化为1，方程可变为（

）

A.x2+6/5x+3/5=0

B.x2-6x-3=0 C.x2-6/5x-3/5=0

D.x2-6/5x+3/5=0 解析：注意方程两边除以-5，另两项的符号同时发生变化. 解答：C 5.已知（m+3）x2-3mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是_______. 解答：m≠-3

6.把方程(1-3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项.

解：原方程化为一般形式是：5x2+8x-2=0，其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是-2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的符号). 【教学说明】这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中3个特征的理解，进一步巩固学生对一元二次方程的基本概念的理解. 五、师生互动、课堂小结

本节课你学到了哪些内容和方法？

【教学说明】小结反思中，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，为每个学生创造数学活动中获得活动经验的机会.

1.布置作业：教材“习题2.1”中第1、2题.

2.完成创优作业中本课时“课时作业”部分.

本节课是一元二次方程的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式及有关概念，并学会利用方程解决实际问题.在教学过程中，注重重难点的体现.本节课内容对于学生整个中学阶段的数学学习有着重大的意义，能否学好关系到日后学习的成败，因此必须要让学生吃透内容并且能够真正消化.