解决问题教学教案设计

第七课时 圆面积的综合应用

一、学习目标

（一）学习内容

《义务教育教科书数学》（人教课标2011版）六年级上册第69～70页例3及相关练习。学生已经会求圆的面积，并能用圆的面积公式解决简单的实际问题。本节课通过解决圆的内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积这一实际问题，经历问题解决的全过程，提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

（二）核心能力

在探索与圆有关的组合图形的过程中，进一步发展推理能力和应用意识。

（三）学习目标

1.通过观察与动手操作，认识与圆相关的组合图形的特征，能清楚的用语言表达这些特征。

2.通过独立思考、合作探究、分析讨论等活动，解决求圆和正方形之间部分面积的问题，理解计算此类组合图形面积的方法，并能准确计算。

3.通过体验图形和生活的联系感受数学的价值，提升学习的兴趣。

（四）学习重点

解决求圆和正方形之间部分面积的问题，理解计算此类组合图形面积的方法，并能准确计算。

（五）学习难点

对组合图形的特征进行分析。

（六）配套资源

实施资源：《圆面积的综合应用》名师教学课件，学具、作业纸。

二、学习设计

（一）课前设计

1.复习任务

仔细观察这两幅图，它们分别是用什么图形组合而成？它们有什么联系和区别？你能用学具拼出这两幅图吗？

（二）课堂设计

1.创设情景，谈话引入

古时候，由于人们的活动范围狭小，往往凭自己的直觉认识世界，看到眼前的地面是平的，以为整个大地是平的，并且把天空看作是倒扣着的一口巨大的锅。我国古代有“天圆如张盖，地方如棋局”的说法。（结合课件出示）虽然这种说法是错误的，却产生了深远的影响，尤其体现在建筑设计上。

课件展示：鸟巢和水立方等建筑，精美的雕窗。

【设计意图：由传统文化对建筑设计产生的影响导入课堂，自然地引出例题的教学，极大地激发了学生学习的兴趣和探索的热情。】

2.问题探究

（1）认识组合图形的特征

课件出示教材例3中的雕窗插图

结合预习要求中的实践操作，学生说一说与预习内容的联系。

学生再次观察预习时拼摆组合的图形进行观察。

【设计意图：理解组合图形面积的产生。与此同时，激活了原有的关于组合图形的认识，找到了新知的生长点。】

（2）求正方形和圆之间部分的面积

①阅读与理解（左图）

师：你能找出圆与正方形之间的联系吗？怎样计算正方形和圆之间部分的面积？先想一想，再与同桌交流。（圆的直径与正方形的边长相等）

根据学生回答课件展示：正方形的边长＝圆的直径。

师：只告诉你这个圆的半径是1米，你能计算出左图中正方形和圆之间部分的面积吗？

学生思考，尝试练习。

②分析与解答

师：谁来说说你的解题思路是什么？你是怎么计算左图中正方形和圆之间部分的面积的？

生汇报。

预设：正方形的面积-圆的面积=正方形与圆之间的面积，正方形的面积是2×2＝4（m2），圆的面积（3.14 m2），4-3.14=0.86 m2。

（3）求圆和正方形之间部分的面积（右图）

师：在右图中如果圆的半径也是1米，正方形的边长还等于圆的直径吗？你能得出正方形的边长吗？（不能）该如何计算正方形的面积呢？

根据圆的直径是正方形的对角线这一联系，可以把右图中的正方形看成两个三角形。

追问：三角形的底和高分别是多少？相当于什么？（底是2 m，高是1 m，相当于圆的直径和半径。）

结合学生回答课件展示。

也可以看成四个三角形。

师：这样一来，每个三角形的底和高各是多少呢？相当于什么？（底和高都是1 m，相当于圆的半径。）

师：那么，计算圆与正方形之间部分的面积你又是如何想的？可以怎样计算？

圆的面积-正方形的面积 =圆与正方形之间的面积，圆的面积是3.14×112=3.14 m2，正方形的面积是（2×1×）×2=2 m2，圆与正方形之间的面积是23.14-2 =1.14m2。

学生练习，分析订正。

【设计意图：经历观察思考、分析推理等学习活动，得出公共边以及图形各要素之间的关系，自主地运用已有的知识达成问题的解决。教学过程中，注重把

时间和空间还给学生，教师只用几个简单的设问，引出的却是学生自主学习的过程展示。】

③回顾反思，理解算法

师：如果两个圆的半径都是r，结果又是怎样的？结合左图我们一起来算一算。

左图：（2r）2－3.14×r2＝4r2－3.14r2＝0.86r2

师：像这样，你能计算出右图中正方形和圆之间部分的面积吗？

学生练习，反馈讲评。

1右图：3.14×r2－（×2r×r）×2＝1.14 r2

2师：我们可以把题目中的条件r＝1m代入上述的两个结果算一算，有什么发现？

和之前计算的结果完全一致。

【设计意图：“授人以鱼，不如授人以渔”，在解决具体问题的基础上发现一般的数学规律是本堂课教学的重要内容。在层层深入的学习过程中，始终坚持为学生创设探索的情境，利用知识内在的魅力吸引学生主动投入到知识的发展过程中。】

3.课堂总结

师：通过本节课的学习，你有什么收获？谁来说一说。

小结：“外方内圆”组合图形特征是正方形的边长等于圆的直径，“外圆内方”组合图形特征是圆的直径等于正方形的对角线。求圆与正方形之间部分的面积就是把它们的面积相减。

（三）课时作业

1.右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24.8 cm。外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？

答案：

方法1：3.14 ×（24.8÷2）²－24.8 ×24.8 ÷2≈175.3（cm²）

方法2：1.14×（24.8÷2）²＝175.2864≈175.3（cm²） 解析：学生可以用我们推导出的结论来求解，也可以用圆面积减去正方形的面积来解。【考查目标2和3】 2．有一块长20米，宽15米的长方形草坪，在它的中间安装了一个射程为5米的自动旋转喷灌装置，它不能喷灌到的草坪面积是多少？

答案：20×15－3.14×52＝221.5（平方米）

解析：求不能喷灌到的草坪面积，就是求长方形与圆之间部分的面积。【考查目标1和2】

3.拓展练习

在每个正方形中分别作一个最大的圆，并完成下表。

采用四人小组合作的方式完成，小组汇报展示。

你发现了什么？如果正方形的边长为a，你能得出怎样的结论？如果在圆内作一个最大的正方形，又会有怎样的关系呢？

ππ答案与解析：正方形面积为a2，圆的面积为π×（）2=a2，面积之比为24π4a2： a2=。

【考查目标3】

4π