1.1.2 平面上的伸缩变换教学设计思路

平面直角坐标系中的伸缩变换

【三维目标】

知识与技能目标:引导学生探究得出平面直角坐标系中的伸缩变换,进一步理解坐标法

过程与方法目标:让学生经历从具体到一般，从直观到抽象的思维过程,

培养学生严谨的

思维品质

情感、态度与价值观目标:在合作交流中学习�培养学生的交流能力及自主探究的意识

【教学重点】

通过实例探究得出并运用平面直角坐标系中的伸缩变换

【教学难点】

求伸缩变换时�系数对应成比例

【教学方法】

探究式教学

【教学手段】

多媒体教学

【教学过程】

一、

复习回顾：

前面一节课我们学***面直角坐标系，通过直角坐标系，平面上的点与坐标(有序实数对），曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合。

常见的图像变换:平移，对称，翻折，伸缩

今天我们要在直角坐标系下研究曲线的伸缩变换。

二、新知探究：

1.问题情境：

问题一：（1）怎样由正弦曲线ysinx得到曲线ysin2x

（活动：学生一起回答）

1横坐标变为原来的2ysin2x 回答：ysinx

纵坐标不变 （多媒体展示）

思考1：

从平面直角坐标系中点的对应关系出发，你认为“保持纵坐标y不变，横坐

标x变为原来的1”，实质是什么？（分组讨论，分组回答）

2 提示：ysinx ysin2x

点Px,y 点PX,Y

11Xxy2

“保持纵坐标不变，横坐标x变为原来的2”变成符号语言为：Yy （从图上看，横向缩短了）此式叫做平面直角坐标系中的坐标压缩变换公式

问题二：（2）怎样由正弦曲线ysinx得到曲线y3sinx （学生回答） ysinx 回答： 横坐标不变y3sinx

纵坐标变为来的3倍

（多媒体展示）

思考：类比此前过程，你能写出问题（2）所对应的坐标变换公式吗？

答：Xx Y3y问题三：（3）怎样由正弦曲线ysinx得到曲线y3sin2x

引导：问题（3）实际上是（1）（2）的合成：

1横坐标变为原来的横坐标不变2ysin2xysinxy3sin2x

纵坐标不变纵坐标变为来的3倍

1Xx变换公式为：2

Y3y2.探究：结合前面的问题，由具体到一般，你能得到些什么？ （4分钟）

提示：ysinxyAsinx

（由多名同学回答）把大家总结的概括起来就得到了平面直角坐标系下的伸缩变换的表达式为：

Xaxa0Ybyb0  注：1. a0,b00a,b1a,b1 2. 图像收缩； 图像伸长

3.把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换本质为坐标伸缩变换；

思考2：平面直角坐标系下的伸缩变换，只适用于三角函数吗？

（学生讨论）若没有结果，则处理下面问题：

三、应用举例：

题型一：已知坐标伸缩变换公式 .求下列方程在此伸缩变换下的方程；

 .指出变换前后图形的变化

X2xY3yx2y21Xx （1） 2（2）

YyX2x2x3y03Y3y2x3y0

（1）

方法：代入法 代入

XY23023XY0 得： 整理得 所以变换后的直线为

xy0 （2）

x2XyY3x2y21 代入 得：

22XYxy 11所以变换后的曲线为

234922

方法归纳：要让学生注意“数”与“形”的对应关系。初步体会利用代数法研究几何图形变

换和性质的方法，同用方程表示图形一样，用坐标伸缩变换可以表示图形的伸缩

变换，体现了坐标法的思想。

X2xY3yxy0题型二：已知在坐标伸缩变换公式 下得到的曲线分别为 和

x2y21求原曲线的方程。

49 （学生讨论，注意变换前后点坐标的写法）

X2xY3yXY02x3y0 方法：代入法：由 代入 得

代入 中得： 2222 XY1492x43y91 整理得：

x2y21题型三：

在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。

1. 直线

x-2y=2

变成

2x′-y′=4.

2.曲线4x29y236变成X2Y21

（学生讨论，探究解题方法）�

四. 巩固练习：学生分组完成.

五. 课堂小结：学生总结，大屏幕展示.

六. 布置作业：教材第五页 习题1-1.

七. 教学反思：

学生在函数，特别是三角函数的学习中，对函数图像的伸缩变换有了一定的了解，在平

面几何的学习中也接触过图形变换.但两者之间的联系没有建立起来，特别是他们还不知道

用代数方法表示图形伸缩变换的方法.。本节课使学生在已有认知的基础上�明确在平面直

角坐标系中可以用坐标伸缩变换研究平面图形的伸缩变化，使学生进一步理解了坐标法思想

和代入法思想.从上课情况来看，求坐标伸缩变换时形式要统一，系数要对应成比例或相等

是难点，应加强课后练习及辅导。