相似三角形的周长比与面积比优秀教案范文

4．7．2 相似三角形的性质（二）

西安交大附中 柴璐

一、教材依据

本节课选自北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级下册，是第四章《相似图形》中第七节《相似三角形的性质》第二课时的内容。

二、设计思想

相似图形是现实生活中广泛存在的现象，我们前面研究的全等就是它的一个特例。探索相似图形一些重要性质的过程，不仅可以使学生更好地认识、描述物体的形状，体会图形相似在刻画现实世界中的重要作用，而且也可以通过解决现实世界中的具体问题，提高学生应用数学的意识和合作交流的能力。

本章是继图形的全等之后集中研究图形形状的内容，它立足学生已有的生活经验、初步的数学活动经历以及已经掌握的有关数学内容，引导学生观察、分析生活现实和数学问题中的相似现象，总结图形相似的有关特征并自觉地应用到现实之中，进一步丰富学生的数学活动经验，认识数学丰富的人文价值，促进学生观察、分析，归纳、概括等能力的发展和积极的情感、态度的培养。

《相似三角形的性质》这一节共安排两个课时完成，本节为第二课时。主要是探索相似多边形周长比、面积比与相似比的关系，以及用此关系解决实际生活中的具体问题。本课时的安排贯穿两条线索，一条明线是相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导与应用，一条暗线是数学思想方法的教学与渗透，即从特殊到一般的分析问题的方法和转化的思想。因为新课标指导下的教学，不仅仅是让学生掌握基本的数学知识，更关键是的要学会从数学的角度分析问题，因此数学思想方法的教学也是数学课堂上的一个核心内容。此外，本节课从实际问题进行导课，最后又用当天所学知识解决实际问题，体现了数学源于生活，又为生活服务的理念，让学生意识到我们的学习是有用的，从而激发其学习的兴趣。

三、学情分析

在前面，学生已经研究了全等三角形及其性质。由于这一章的学习一直采用的是类比方法，仿照全等三角形的研究方法来探究图形的相似问题。学生很自然的会想到“全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应边上的高相等”、“全等三角形的周长相等，面积相等”。而我们上节课研究了相似三角形的一个性质是

“相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比”，类似的，学生可能得出这样的猜想“相似三角形的周长比，面积比都等于相似比”，我们需要对这样的猜想进行验证，本节课的设置刚好可以解决学生的疑问。

但是由于初二学生的年龄特征，思维水平还没有达到一定高度，知识的综合运用能力还有待加强，因此要找到相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系，并不是一件容易的事，在这一过程中需要教师适当引导，并从中渗透数学思想方法的教学，使学生从知识、能力、方法上面都有所提高和收获。

四、教法分析

教学中应提供生动有趣，便于活动和交流的问题情境，鼓励学生自主探究、合作交流，引导学生主动的从事观察、操作、交流等探索活动，给予学生充分的时间和空间，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。由于学生之间存在着一定的差异，因此对于不同层次的学生的要求定位也不应完全相同。对于基础较薄弱的学生，教师给予适当的引导和帮助，由特例入手，进而解决一般性的问题，鼓励他们自主参与数学活动，自主解决问题，发表自己的看法并给予恰当的评价。而对于基础较好的学生，则要求他们从多角度对问题进行探索并寻求多种解题方法，发展他们的数学能力。

五、教学目标

1、

知识与技能: （1）相似多边形的周长比，面积比与相似比的关系及在实际生活中的应用. （2）经历探索相似多边形的性质的过程，培养学生的探索能力；利用相似多边形的性质解决实际问题，提高学生的知识运用能力. 2、过程与方法

学生通过交流，归纳，经历探索相似多边形性质的过程，培养学生的探索能力和知识的综合运用能力。

3、情感与态度: （1）学生通过交流、归纳，总结相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处. （2）运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.

六、教学重点和教学难点

重点：1.相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导. 2.用相似多边形的比例关系解决实际问题. 难点：相似多边形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用. 七、课前准备

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八、教学过程

本节课设计了八个教学环节：情境引入、问题探究、反馈练习、提升总结、深入探究、联系拓广、回顾与小结、布置作业

第一环节：情境引入

1、回顾相似三角形性质：

（1）对应角相等，对应边成比例；

（2）对应中线、对应角平分线、对应高线的比等于相似比

2、根据地图，回答下列问题：

（1）根据地图所给数据，你能否计算出兴庆公园离学校大致有多远？

（2）如果你绕着兴庆公园走一圈，大致需要走多少米？

（3）你能否估算出兴庆公园的面积？

显然，要解决（2）、（3）两个问题，我们需要知道相似图形的周长比，面积比与相似比之间具有什么样的关系？这节课，我们将继续研究相似多边形的其他性质。

【说明】在这里，可以类比全等三角形的性质，猜想相似多边形的性质，引起学生的兴趣，水到渠成的进行下面的环节。并在这一过程中，体会猜想得出的结论并不可靠，数学结论的得出必须经过严格的推理论证。

【设计意图】截取了学校附近的地图，与学生的实际生活相联系，一下子吸引学生的注意力。创造问题情境，构造认知冲突，激发学生学习新知的兴趣。

第二环节：问题探究

1、特殊相似多边形的周长与面积关系

（1）两个直角边分别为a和b的等腰直角三角形，它们的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？

DbAaF

CEB

①根据勾股定理得，AC2a，DF2b，

CCABC2a2a22aDEF2b2b22b22aa22bb

CCSABCDEF112ABBCaABC2211②SDEFDEEFb2

22122aSABC2a2a21SDEFbb2b2（2）两个边长分别为a和b的正方形，它们的周长比、面积比与相似比的关系又如何呢？

ADEBCFHG

ab

CABCD4a,CEFGH4b①CABCD4aaCEFGH4bbSABCDa2,SEFGHb2

②2SABCDa2a

SEFGHb2b2、一般相似多边形周长与面积的关系

（1）如果ABCA'B'C'，相似比为k，那么ABC与A'B'C'的周长比和面积比分别是多少？⊥

AA'解：BDCB'D'C'

ABCA'B'C'ABBCACkA'B'B'C'A'C'

①CABCABBCACABk

CA'B'C'A'B'B'C'A'C'A'B'②分别过A、Aˊ作AD⊥BC，A′D′⊥B′C′

ADkA'D'1ADBC2SADBCABCk2SA'B'C'1A'D'B'C'A'D'B'C'2

（2）如果四边形A1BC11D1四边形A2B2C2D2，相似比为k，则两个四边形的周长比和面积比分别是多少？

A1D1B1C1A2D2B2C2

解：四边形A1BC11D1

四边形A2B2C2D2

A1D1k

A2D2A1B1BCCD1111A2B2B2C2C2D2

①CA1B1C1D1CA2B2C2D2A1B1B1C1C1D1A1D1AB11k

A2B2B2C2C2D2A2D2A2B2②连接A1C1,A2C2

四边形A1BC11D1四边形A2B2C2D2

D1D2,A1D1C1D1C1D1A1D2C2D2A2

A2D2C2同理可得，A1B1C1SA1B1C1D1SA2B2C2D2SSA1B1C1A2B2C2A2B2C2，且相似比均为k A1C1D1A2C2D2SSSSA1B1C1A2B2C2k2

（3）如果把四边形换成五边形，结论又如何呢？

结论：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

学法指导：（1）由特殊到一般的分析问题的方法；（2）转化思想：把求知转化为已知。

【说明】在实际教学的过程中，可以先提出问题“相似多边形的周长比、面积比与相似比之间具有什么样的关系？”。不同层次的学生会有不同的方法。对于基础好的，头脑较灵活的学生来说，他们可能不需要经历特殊三角形的验证过程，而直接由一般三角形入手，独立地推导出最终结论，教师可以引导他们交流自己的做法，进行更深层次的探究。而对于基础较差的学生，他们可能会一时没有头绪，可以采用小组合作的形式，汇集每个学生的智慧，从而寻找到解决问题的方法。在这一过程中，教师要能够及时发现问题，给予适当地指导和帮助。可以让他们由特殊的三角形入手，得出结论，进而推广到一般的三角形和多边形。

【设计意图】对性质的探究过程，不同层次的学生有不同的教学方法，使每位同学都能在他自身的基础上得到提高。基础较差的学生在整个过程中体验到成功的喜悦，激发他们学习数学的兴趣。而在整个探究过程中渗透数学思想方法的教学，

即从特殊到一般的分析问题的方法和转化的思想，使学生在收获知识的同时，分析、解决问题的能力也得到相应的提升。

第三环节：基础巩固

1、已知两多边形相似，根据数据，完成下表：

相似比

周长比

面积比

2

0．01 1

9

10

9

【注意】知道相似比，平方后就是面积比；知道面积比，其算术平方根就是相似比。

【设计意图】直接运用结论，巩固基础知识

2、已知两个相似多边形的相似比为2：3，它们的周长差是15，求较大多边形的周长。

【分析思路】采用代数方法解决几何问题。

第四环节：实际运用

运用今天所学的知识解决开头提出的问题。

【分析】（1）用一根弹性忽略的线绳沿图中公园围一圈，绳长即为公园的图上周长；（2）将图中公园近似看成矩形，估计其面积；用透明的方格纸覆盖，数格子。

【说明】采用小组讨论的形式，关键是要把图中公园近似地看作一个多边形，估算其周长和面积，再利用今天所学的性质得出实际的周长与面积。

【设计意图】在上一环节的基础巩固练习中，学生已经能够较为灵活地直接运用所学性质解决实际问题，这一环节回到引课中提出的实际问题，首尾呼应，从学习过程中体会到数学来源于生活，又用来解决生活中的问题。而且这个问题需要综合考虑各方面的因素，对学生的要求也比较高。

第五环节：课时小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？

数学知识内容：相似多边形的周长比，面积比与相似比的关系，以及它们在实际中的应用

数学思想方法：由特殊到一般；转化思想

【设计意图】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使这节课知识系

统化，感性认识上升为理性认识。同时培养学生的归纳能力和语言表述能力。

第六环节：知识拓展

1、某生活小区的居民筹资1600元，计划在一块上、下底分别为10米，20米的梯形空地上种植花木，在AMD和BMC上种植太阳花，单价为8元/平方米。当AMD种满时，共花160元，请计算种满BMC所需费用；若其余地带有玫瑰和茉莉两种可供选择，单价分别为12元/平方米和10元/平方米，应选哪种？

AMBCD

【分析思路】讨论费用问题转化为讨论面积。而讨论的对象要看是否相似，若相似，可用性质求解，若不相似，用其它规律，如等面积法。

【设计意图】知识的综合运用。本题中要计算两个三角形的面积，所用的方法不相同。第一个直接运用今天所学的相似的性质来求面积，第二个要运用我们前面的知识解决。因此，学生的知识不能是孤立的，零散的，而是要建立一个体系，沟通知识间的联系，这样才能灵活地运用。

2、西安地铁施工时，有一个面积100平方米的三角形绿化地被削去一个角，变成梯形。原绿化地的一边由原来的20米缩短为12米，那损失的绿地面积有多大？

数学模型：如图1，在ABC中，DE∥BC，AB=20米，BD=12米，ABC的面积为100平方米，求ADE的面积？

ADBEBDAECAMFEDPBGNC

CF图1

图2

图3

变式1：如图2，过E作EF∥AB，交BC于F，其它条件不变，求S变式2：若设S样的关系？

ABCEFC,SBDEF

S,SADES1,SEFCS2，猜想，S与S1,S2之间存在着怎

变式3：如图3，DE∥BC，FG∥AB，MN∥AC，且DE，FG，MN交于点P，设SABCS,SDMPS1,SPEFS2,SGNPS3。则S与S1,S2,S3之间是否也有类似结论？

【说明】由于时间问题，这道题目课堂上没有时间来完成，可以给学生提出，让他们自己解决，做为课堂学习的延伸。

【设计意图】这道题由实际问题入手，建立数学模型，综合性非常强，探究过程逐层深入，可以满足不同层次学生的学习需求。

九、教学反思

整节课的思路非常清楚，两条主线很明显，让学生在获得知识的同时，也掌握了基本的数学方法，提高了数学思维能力。在课堂引入的环节，选取学生周围的例子，能一下抓住学生的注意力。课后练习部分，也是用当天所学生知识解决生活中的实际问题。在教学活动中尊重学生的个体差异，给学生构建了不同层的发展平台，满足多样化的学习需要，关注学生对相似多边形性质的探究过程。

但是在教学过程中，对课堂节奏的把握还不是很到位，而且对学生的评价方面还有欠缺。这些都是在以后的教学中需要注意的地方。