4.5分段函数教学实录与评析

2.1.3生活中的成本计算

一、教学目标

知识与技能：以水费、出租车计费和个税为实例，学会构建分段函数模型解决生活中简单的成本计算问题

过程与方法：通过解决生活成本问题，初步建立利用分段函数解决生活问题的数学思想，学会借助数学模型解题

情感与价值观：通过生活实例，感悟数学建模与生活的联系，提升数学建模能力

二、教学重难点

重点：建立分段函数模型解决生活中的成本

难点：在复杂背景下，将分段函数模型中各段对应的表达式数学化、符号化

三、教学过程

（一）问题呈现

从2014年元旦起萧山区实行阶梯式水价

每月居民用水量

一级(15立方米及以下) 二级(超过15而不超过25立方米部分) 三级(25立方米以上部分) 1.若我家4月份用水量是20立方米，则4月份水费是多少？

2.请建立所要的交水费和用水量之间的数学模型

(1)分析:从收费标准看，所交水费是分段计算的。先找到所用水量的级数，再确定水价

水价（元/立方米）

2.50 3.50 4.40 y元

(2)假设:本月用水量是 x立方米，所交水费 (3)模型构建

当用水量为一级，即 0x15时，

y2.5x当用水量为二级，即 15x25时，

y2.5153.5(x15)当用水量为三级，即 时，

y2.5153.5104.4(x25)x25(4)模型求解

设计意图:以具体实例引出分段函数，熟悉利用分段函数建模流程

（二）方法归纳

定义:对自变量 有着不同的函数表达式，这样的函数通常叫做“分段函数”。

x不同取值，注意：对于分段函数，因为在不同的定义范围内，函数有着不同的对应关系，所以必须2.5x,0x15y2.5153.5(x15),15x252.5153.5104.4(x25),x25先分段研究，再合并函数表达式。

构造分段函数时，要对自变量取值范围做合理划分，不重不漏。

设计意图:对模型和方法小结，提醒构建模型分段时注意点

（三）实战演练

A同学从镇上出发坐公交到萧山汽车东站后发现，若再坐公交去学校怕迟到，于是打算坐出租车。经百度地图查询推荐路线：全程有6.3千米，11个红绿灯（预计等待4分钟）,车费约18元。18元够了吗？

萧山出租车计费方式（如下图）

一般出租车计价器显示以“元”为单位，即小于等于0.50元舍去，大于等于0.51元进为1元。

设计意图：通过更贴近生活的事例计算，巩固分段函数模型的求值

（四）学以致用

《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人全月工资等收入不超过3500元时，不必交税，超过3500元的部分为当月应纳税所得额，税款分段累计

全月工资收入额

不超过3500元部分

超过3500元，不超过5000元部分

超过5000元，不超过8000元部分

超过8000元，不超过12500元部分

……

（1）计算月收入为10000元时所应缴税额

（2）若当月所交个税为169元，则当月的收入是多少？

（3）请建立所缴税款 x之间的函数关系

y与月收入

设计意图：以更多分级的税收问题，进一步巩固分段函数模型的构建及求值

(五)总结升华

(六)课后作业

书本课后习题

利用分段函数建立的数学模型解决生活成本计算。数学源于生活，更服务于生活

税率

0% 3% 10% 20% ……

2.解决问题

（2）假设：①出租车行驶路程为x，所需费用为y

②全程畅通，等候费忽略不计

（1）分析：①从表中可以看出，萧山出租车计费根据路程采用分段计费

②

路程（千米）

0<路程

3<路程

路程>10

价格

11,0x3y112.5(x3),3x10（3）模型构建：

112.573.75(x10),x10（4）模型求解：当路程x=6.3时，费用y=19.25元

（5）模型检验：18元打车费可能不够

3.方法小结

对自变量x的不同取值，有着不同的函数表达式，这样的函数通常叫做“分段函数”

4.同类问题

某市的B同学从商场打车回家，付费17元。发票记录如下：4月10日20：30-20:48；里程4.2千米；单价2.40元，等候时间00:04.16。

已知B市出租车计价标准如下：①起步价12元，起步里程3千米；超过起步里程部分按2.4元/公里；超过13千米以上（不含13千米），超过部分3.6元/公里。②当日23点（含23点）至次日5点（不含5点），起步费、超起步里程价格上浮30%。③非司机原因低速或等候费用按0.5元/每分钟计费（不足1分钟按1分钟计，1分15秒按2分钟计算，以此类推）④计价器以“元”为单位，即小于等于0.50元舍去，大于等于0.51元进为1元。

问题1：请写出行驶里程为x千米和对应里程费y之间函数关系

（1）分析

①该市出租车里程费根据路程采用分段计费

路程x（千米）

价格

②

（2）模型建构

12,0x3y112.4(x3),3x13

112.5103.6(x13),x13（3）模型求解

y当路程=6.3元

x时，费用

=19.25

问题2：最后应付款17元有无错误？请验证

5.学以致用

《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人全月工资等收入不超过3500元时，不必交税，超过3500元部分为当月应纳税所得额，税款分段累计

全月应纳税所得额

不超过1500元部分

超过1500元，不超过4500元部分

超过4500元，不超过9000元部分

……

税率

3% 10% 20% ……

（1）分别计算月收入为2950元，5000元,10000元时所应缴税额

（2）请建立所缴税款y与月收入x之间的函数关系