阅读与思考 费尔马大定理课件配套优秀获奖教案

《勾股定理--阅读与思考--费马大定理》教学设计

凉州区下双镇九年制学校

蔡育伟

教学内容：

人教版八年级数学下册，勾股定理--阅读与思考---费马大定理

教学目标：

知识与技能：让学生知道费马大定理产生的历史背景，了解费马大定理的基本内容

过程与方法：学生通过了解费马大定理简单的证明历程，知道费马大定理探索证明的艰难。

情感态度价值观：学生感受到数学研究的魅力，培养坚持不懈的良好品格。

教学重点：

了解费马大定理的基本内容

教学难点：

了解费马大定理简单的证明历程，知道费马大定理探索证明的艰难程度。培养坚持不懈的良好品格。

教学准备：多媒体课件

教学过程：

一、名言引入

数学之问

简明深刻：问题是数学的心脏，是数学发展的动力. 数学的历史就是数学问题的提出、探索、解决的历史.通过一幕幕历史镜头生动地再现一些数学问题的缘起、产生、发展、争端，直至最终解决的各个历程，可以了解数学家如何提问？如何思考？关注什么？意义何在？对于正确认识数学的本质具有重要意义. 希尔伯特：只要一门学科分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁般的意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境地。

阿贝尔：精巧的论证常常不是一蹴而就的，而是人们长期切磋积累的成果。

二、数学欣赏

（一）费马大定理产生的背景

1.费马其人

生平：费马（Pierre de Fermat, 1601---1665）,1601年8月20日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙-德洛马涅一个皮革商人家庭。大学法律系毕业后在地方法院当律师，业余时间研究数学，

30岁以后，对数学痴迷，几乎把全部业余时间投入数学研究。

德、行、能力：费马为人谦逊，淡泊名利，勤于思，慎于言，潜心钻研，厚积薄发。精通法语、意大利语、西班牙语、拉丁语、希腊语等。深入地研究过韦达、阿基米德、丢番都等人的著作。

成就：费马在解析几何、微积分、概率论和数论等方面，都做出了开创性的贡献，是解析几何、微积分与概率论的先驱，并被誉为近代数论之父，成为17世纪欧洲最著名的数学家之一。

费马在世时，没有一部完整的著作问世，他的大部分研究成果都是批注在阅读过的书籍上，或者记录于与友人的通信中。费马去世后，在众多数学家的帮助

下，费马的儿子将其笔记、批注以及书信加以整理，汇编成两卷《数学论文集》分别于1670年和1679年在图卢兹出版，费马的成果才得以广泛流传。

2.费马猜想——费马大定理

古希腊数学家丢番都把他对不定方程整数解的研究写成一本书《算术》，1621年，该书被巴歇翻译成拉丁文出版并开始在欧洲流传。后来，费马在巴黎的书摊上买到这本书，引起他的浓厚兴趣。此后，费马经常翻阅此书，并不时地在书页空白处写下批注。

该书第二卷命题8给出了方程

x2 + y2 = z2

的整数通解。

若m, n 是两个正整数，且2mn是完全平方数，则通解为

xm2mnyn2mnzmn2mn

1637年，费马在阅读这一命题后，在该命题旁边空白处用拉丁文写下一段具有历史意义的批注：“将一个正整数的立方表为两个正整数的立方和；将一个正整数的四次方表为两个正整数的四次方和；或者，一般地，将一个正整数的高于二次的幂表为两个正整数的同一次幂的和，这是不可能的。对此，我找到了一个真正奇妙的证明，但书页的空白太小，无法把它写下。”

用式子来表达这段话就是：

方程

xn + yn = zn

(1) 在n > 2时没有正整数解。

在费马去世五年后的1670年，费马的儿子在整理父亲遗留的书籍时，发现了这一批注，并公开出版。

（二）两个特例：n=3,4 1.新人出击

欧拉

Leonhard Euler (1707 - 1783)，瑞士人。18世纪最优秀的数学家。世上最多产的数学家。13岁入大学，17岁取得硕士学位，30岁右眼失明，60岁完全失明。

2. n=4的费马大定理证明

基本思想：（无穷递降法）

a4 + b4 = c4 没有正整数解。证明依赖于勾股数。

3. n=3的费马大定理证明

1753年，瑞士大数学家欧拉再一次利用费马无穷递降法的思想，对n=3证明了费马大定理。

但其中有错误！后来被高斯改进。高斯的改进——引入复整数

高斯

Carl Friedrich Gauss(1777 - 1855)德国数学家。完成欧拉的证明。引入“复整数”的概念，

4. 进一步的发展

勒让德

Legendre (1752 - 1833)，法国人，1823 年证明了

n = 5的情况。

狄利克雷

Dirichlet (1805 - 1859)，德国人1828 年，独立证明了

n = 5。1832

年，解决了

n = 14 的情况。

拉梅

Gabriel Lamé (1795 - 1870)，法国人1839 年，证明了

n = 7。

（三）第一次重大突破

1.新的方向

索菲娅

Sophie Germain (1776 - 1831)，法国人。少数研究数学的女性。提出将“费马大定理”分成两种情况：

(I) n 能整除

x、y、z。

(II) n 不能整除

x、y、z。

1831年，一位完全靠自学成材的法国女数学家索菲娅，依靠自己的聪明才智，把结果向前推进了一大步：

在x, y, z与n互素的前提下，证明了对所有小于100的奇素数，费马大定理成立。

2.理想数的诞生

库墨尔

Ernst Edward Kummer (1810 - 1893)，德国人1845 至

1847 年间，提出了“分圆整数”、“理想数”、“正规质数”等概念。证明当

n < 100 的奇素数时，“费马大定理”成立。1857 年，获巴黎科学院颁发奖金三千法郎。

如果n是不超过100的奇素数，则方程xn+yn=zn没有正整数解。

（四）悬赏征解

从费马提出这一猜想到库默尔解决到小于100的奇素数，前后经历了200年，使人们对这一问题不敢小看。

1816年，法国巴黎科学院首次为费马猜想设置征解的大奖。

1850年和1853年，法国科学院又两次决定，悬赏2000法郎，再度征求对费马大定理的一般证明。到1900年，

n的数值从100推进到206，但却没有实质性的进步。

沃尔福斯盖尔

Paul Friedrich Wolfskehl (1856 - 1908)，德国商人。曾学习医学。1883 年跟库墨尔学习数学。

订立遗嘱，悬赏10万马克，限期100年，再次征求费马大定理的证明。

无数英雄尽折腰：

1941年，雷卖证明当

n < 253747887 时

“费马大定理”在某些特殊情况下成立；

1977 年，瓦格斯达芙证明当n < 125000时

“费马大定理” 成立；

……

尽管如此，它离我们所要追求的目标，依然十分遥远。

（五）第二次重大突破

1.几何的威力

1983年仅28岁的德国数学家法廷斯以几何为工具，实现了费马大定理的第二次重大突破，这一突破直接推动了10年后费马大定理的最后解决。

2.问题转化：代数问题------------几何问题

法廷斯证明莫代尔猜想

平面曲线分类：

（1）有理曲线：包括直线和所有二次曲线；

（2）椭圆曲线：即三次曲线y2 =x3+ax+b, 其中，a,b是整数，并且方程x3+ax+b=0没有重根；

（3）其它曲线。（比如：平面曲线

xn + yn = 1，n > 2 )

1983年，法廷斯证明了莫代尔猜想. 从而差一点儿……就能证明费马猜想。

（六）费马大定理的最后证明

法廷斯证明莫代尔猜想，吸引了许多几何高手加入研究费马大定理的行列，为费马大定理的证明开辟了多条道路，其中德国数学家符雷偶然发现了一条蹊径：

费马大定理与第二类曲线（椭圆曲线）有密切关系。

关于（第二类）椭圆曲线，有许多重要猜想，其中一个由日本数学家志村和谷山，以及法国数学家外依在1950年提出的猜想，称之为志村-谷山-外依猜想:

1985年德国数学家符雷在一次会议上宣布：

如果对某个n >2费马大定理不成立，使志村-谷山-外依猜想不成立。

因此（逆否命题）

若志村-谷山-外依猜想成立，则对所有n >2费马大定理成立！

要证明费马大定理吗？那就证明志村-谷山-外依猜想吧！

外尔斯

Andrew Wiles，1986年，10 岁时就立志要证明“费马大定理”。1975 年，开始在剑桥大学进行研究，专攻“椭圆曲线”。在取得博士学位后，就转到美国的普林斯顿大学继续研究工作。出生于英国，了解到符雷的这项工作后，借助于他对椭圆曲线研究的深厚功底，经过8年的艰苦努力，于1994年9月上证明了志村-谷山-外依猜想。

1993 年

6 月

23 日，在剑桥大学的牛顿研究所，外尔斯以“模形式、椭圆曲线、伽罗瓦表示论”为题，发表了他对“志村-谷山-外依猜想”的证明。

演讲过后，外尔斯将长达两百多页的手稿送有关专家审阅；起初，发现稿件有一些打印错误；

1993年

9 月，发现有重大漏洞；外尔斯以为此漏洞很快可以修补，然而却屡遭失败；外尔斯已失败的传闻不胫而走。

1994 年

1 月，外尔斯重新研究他的证明。到了同年

9 月，依然没有任何进展。

有人怀疑：他是否真的证明了这一猜想？

但在

9 月

19 日的早上，当外尔斯打算放弃并做最后一次尝试的时候，突然找到了一个解决方案……

1995 年

5 月，外尔斯长达100页的证明发表在世界著名数学杂志

Annals of Math.《数学年刊》上。

1997 年

6 月27日，外尔斯荣获德国悬赏的10万马克奖金。

其它荣誉：

1996年获得

美国国家科学院数学奖；

欧洲Ostrowski奖；

瑞典科学院Schock奖；

法国费马奖；

Wolf奖。

1997年荣获

美国数学会科尔奖。

1998年8月获得

菲尔兹(J.C. Fields)特别贡献奖。

2005年6月获得

2005年百万美元邵逸夫大奖

（七）费马大定理的意义

1.在数学发展史上，许多问题的解决意味着这一领域的终止。但费马大定理却不同，在她被解决之后，后面一批新问题接踵而来，它们是比费马猜想更广泛的问题。这里列举两个：

（1）. Fermat-Catalan（费马卡特兰）猜想

（2）. Beal（比尔）猜想

2.费马大定理的研究给数学界带来了很大的影响，很多数学成果，甚至数学的分支在这个过程中诞生，费马大定理也因此被数学界称为是一只“会下金蛋的鹅”

三、分析讨论

师生讨论：零（0）为什么不能做除数? 四、课堂小结：

这节课你有什么收获？

五、布置作业

写一篇本课的学习心得体会（300字）

教学反思：