阅读与思考　一次方程组的古今表示及解法第一课时教学设计

第1课时《一次方程组的古今表示及解法》

【知识与技能】

了解什么是算筹，如何用算筹表示三元一次方程组，以及三元一次方程组的古今解法.

【过程与方法】

列方程组解决实际问题，通过小组探究法，讲授法等，让学生进一步体会数学中的“消元”思想.

【情感态度】

让学生了解数学的发展，传播数学文化，激发学生的学习热情. 【教学重点】

三元一次方程组的古今表示及解法. 【教学难点】

用算筹解三元一次方程组，用矩阵解三元一次方程组.

一、情境导入，初步认识

问题

你知道古人是怎样计数的吗？

通过图片展示古人的计数方式. 【教学说明】上面问题的提出可以激发学生的兴趣，通过展示图片，更好的导入新课. 二、思考探究，获取新知

阅读PPT上的补充材料，了解什么是算筹. 设问1：古人是如何用算筹计数的呢？

老师总结：算筹计数有两种表示方法，纵式和横式；表示多位数时，从个位开始，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空. 设问2：如何用算筹表示三元一次方程组呢？

【设计意图】通过设问，引导学生一步步了解算筹的计数方法，并带着疑问一起探究如何用算筹表示三元一次方程组. 三、典例精析，掌握新知

阅读教材中的例题. 算筹图代表了古代解决这个问题的方法，它是什么意思呢？

教师总结：算筹图第一行代表了3束上等谷加2束中等谷加1束下等谷等于39斗；第二行2束上等谷加3束中等谷加1束下等谷等于34斗；第三行1束上等谷加2束中等谷加3束下等谷等于26斗.

小组进行思考与探究：

1.

用数学符号来表述怎样解这个有3个未知数的问题，列出相应的方程组. 2.

比较算筹图和所列的方程组，它们有什么联系？

学生思考后回答、整理：

1.解：设上等谷每束x斗，中等谷每束y斗，下等谷每束z斗，得

3x2yz392x3yz34x2y3z26

2.算筹图省略了各未知数，只用算筹表示出未知数的系数与常数项. 【教学说明】小组合作探究，采用选派一位同学上台列出方程组，完成第一小题；学生一起回答第二小题. 师生讨论分析学生所列的方程组：

追问1：解此方程组，要用到什么数学思想？

学生讨论、回答：“消元”的数学思想. 追问2：类比二元一次方程组解题思路，怎么解这个方程组？

师生合作探究：二元一次方程组的解题关键是利用代入法或加减法进行“消元”，化“二元”为“一元”.那么我们可以类比此方法，先把“三元”化为“二元”，然后再解二元一次方程组.那么本题你觉得该先消去哪个未知数，用什么方法消去这个未知数？

老师板演用加减消元法解方程组的过程：

3得

3x2yz392x3yz34x2y3z264y8z39



2得y5z184y8z39与组成方程组y5z18 17y4解得z114

代入得x374 37x417因此，方程组的解为y411z4

追问3：如何用算筹解方程组? 老师讲解：算筹解方程组的解法：在一个方程两边乘另一个方程中某未知数的系数，然后再累减另一个方程. 如用加减消元法求解时，用3得式中x的未知数，同理，用2得4y8z39，该式子中的3是y5z18，该式子中的2是式中的未知数，通过比较我们可以发现，用算筹解方程组的方法和用加减消元法解方程组的方法是一致的. 师生共同板演用算筹解方程组：

11答：上等谷每束九斗四分之一（9斗），中等谷每束四斗四分之一（4斗），443下等谷每束二斗四分之三（2斗）. 4在大学高等代数的学习中，我们用矩阵来解方程组，那什么是矩阵呢？

用现代高等代数的符号可以把方程组如

321392313412326

的系数排成一个表，把这个表叫做矩阵.追问4：通过比较矩阵和算筹图，你发现了什么？

学生讨论、回答：

这个矩阵与上面的算筹图是一致的，只是用阿拉伯数字替代了算筹.

用矩阵解方程组，解的结构为：

32139100axa23134010byb12326001czc

xy10例：用矩阵求解方程组2xy16

，把代入师生共同探究：用加减消元法求解的步骤为：得：x6得：y4，在运算的过程中，未知数没有变化，只是未知数的系数变化了；实际上-相当于+×（-1），根据这种思路，用矩阵解该方程组. 师生共同板演用矩阵解该方程组的过程：

第一行乘以-1 加到第二行得

第二行乘以-1 加到第一行得

11101110014解：  

1062116106x6

y4通过PPT演示用矩阵解三元一次方程组：

第三行乘以-2 321390-4-8-39加到第一行得

加到第二行得

231342313412326 12326 第三行乘以-3 04839001233加到第一行得

加到第三行得

01518 01518 1232612326第二行乘以-4 第二行乘以2

11第一行乘以50012334加到第二行得

0151801518  1071010710第一行除0以12得

011111001001第二行乘4第一行乘以74加到第三行得

以-1得

1717010 010

44107103710041137001x441701017y443711100z44



追问5：古今解方程组的方法相同吗？

教师总结：古今解方程组的方法是相同的，这体现了数学发展的一脉相承，比起欧洲人来，我们祖先要早一千多年，掌握了解方程组的方法，这是我国古代数学一个光辉成就. 【教学说明】通过追问与师生合作探究，让学生充分了解如何用算筹解三元一次方程组，如何用矩阵解三元一次方程组，以及了解到古今解方程组解法的相同性，了解数学的发展的一脉相承.

四、运用新知，深化理解

1.译文

今有县令1人，官员5人和随从10人，共吃了10只鸡；县令10人，官员1人，随从5人共吃了8只鸡；县令5人，官员10人，随从1人共吃了6只鸡。问县令、官员和随从每人各吃了多少鸡？（列出方程组和矩阵，不用求解）

解：设县令、官员、随从每人各吃鸡为x,y,z只，得

x5y10z10

10xy5z85x10yz6

15101010158

51016五、师生互动，课堂小结

教师总结这节课主要学习了以下内容：

（1）算筹是什么？

（2）算筹的计数法则是什么？

（3）古今三元一次方程组解法中，所用的数学思想是什么？

1.布置作业：分别用加减消元法，求解练习题所列的方程组.

本课时主要通过学生喜闻乐见的实际问题导入，突出了数学和生活的联系；然后通过阅读补充材料，了解什么是算筹，算筹的计数法则，及如何用算筹列三元一次方程组？再通过追问，师生合作探究，一步一步引导学生用加减消元法解方程组，用算筹解方程组，用矩阵解方程组，在古今解方程组的三种解法中，让学生进一步体会到“消元”的数学思想，了解数学发展的一脉相承，了解到我国古代数学的光辉成就，传播数学文化.