三元一次方程组的解法2教学设计与反思

人教版七年级数学（下）第八章8.4第1课时

《三元一次方程组的解法》教学设计

秀山土家族苗族自治县第一初级中学 李小维

教学目标：

知识与技能：1.知道什么叫做三元一次方程；

2.知道什么叫做三元一次方程组；

3.会解三元一次方程组；

4.感受“三元”化归到

“二元”，再由“二元”化归到“一元”的数学思。

过程与方法：经历探索三元一次方程的解题过程，体会其中的内涵。

情感态度与价值观：培养数学化归思想，使学生真正体验到数学的应用价值。

教学重难点：

重点：掌握三元一次方程组的解法。

难点：掌握三元一次方程组过程中化为“三元”为“二元”或“一元的思路。

教学准备：多媒体课件

教学过程

一、复习引入

1.复习二元一次方程的相关知识

师：亲爱的同学们，在前面我们学习了二元一次方程，请问什么叫做二元一次方程？

生：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程。

2.复习二元一次方程组的相关知识

师：请问什么叫做二元一次方程组呢？

生：有两个未知数，且含未知数项的次数是1的两个或两个以上的整式方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。

二、新知探究

1.出示问题

小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1 元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元、2元、5元纸币各多少张？

师：解决实际问题的关键是什么？

生：找出题目中的等量关系。

师：请同学们找出题目中的等量关系，用笔在书上勾画出来，并且用自己的语言描述出来。

生：①1元面额的张数+2元的面额张数+5元面额的张数＝12张

②1元面额的价值+2元面额的价值+5元面额的价值＝22元

③1元面额的张数＝2元面额的张数×4 师：根据上面这三个等量关系如何来设未知数呢？

生：设1元，2元，5元面额的分别有 x,y,z张

师：现在同学们把未知数已经设出来了，根据等量关系可以列出什么样的方程呢？

1

生：x+y+z＝12 ①

x+2y+5z＝22 ②

x＝4y ③

2.三元一次方程的概念

师：请同学们观察第一个方程和第二个方程，第一，观察未知数的个数，第二，观察含未知数的项的次数，第三，观察方程的左右两边都是什么式子。

生：含有三个未知数，含有未知数的项的次数都是1，都是整式方程。

从而得出三元一次方程的概念：含有三个未知数，含有未知数的项的次数都是1的整式方程。

3.三元一次方程判断训练

请同学们判断下列方程是不是三元一次方程，如果不是，请说出理由。

（1）2x+3y=5 （2）6x+5y-11z=34 （3）x-2xy-8z=7 （4）5x=9y－3

z师：请同学们口答。第一个式子是三元一次方程吗？

生：第一个不是三元一次方程组

师：为什么？

生：因为这个方程只含有两个未知数，是二元一次方程。

师：第二个式子是三元一次方程吗？

生：第二个个式子是三元一次方程。

师：第三个式子是三元一次方程吗？

生：第三个式子不是三元一次方程。

师：为什么？

生：因为2xy这一项的次数是2. 师：第四个式子是三元一次方程吗？

生：第四个式子不是三元一次方程

师：为什么？

生：因为它不是整式方程。

4.三元一次方程组的概念

师：请同学们数一数上面三个方程一共有几个未知数的个数，含未知数的项的次数是多少，这三个方程的左右两边是什么式子？

生：共有3个未知数，含未知数的项的次数都是1，整式。

进一步巩固三元一次方方程组的概念：共有3个未知数，含未知数的项的次数都是1，两个或者两个以上的整式方程所组成的方程组。

5.三元一次方程组判断训练

请判断下列方程组是不是三元一次方程组，如果不是，请说出理由。

2

x2（1）y4

z3xyz15（2）

0.1x0.5yz7

xy3（3）yz2

zx5x2y3z33（4）xy2

y4z52a5b72（5）b9

a6c24师：请同学们口答，第一方程组是三元一次方程组？

生：第一个方程组是三元一次方程组。

师：第二个方程组是三元一次方程组？

生：第二个方程组是三元一次方程组。

师：第三个方程组是三元一次方程组？

生：第三个方程组是三元一次方程组。

师：第四个方程是三元一次方程组吗？

生：第四个方程组不是三元一次方程组。

师：为什么？

生：第2个方程 xy这项的次数是2 师：第五个方程组是三元一次方程组吗？

生：第五个方程组不是三元一次方程组。

师：为什么？

生：第五个方程组中的第二个方程是分式方程。

6.解三元一次方程组

师：同学们在前面学了二元一次方程组的解法，请问二元一次方程组有哪些解法？

生：有代入消元法和加减消元法。

师：对，我们学习二元一次方程组的解法最核心的思想就是把二元转化成一元，那么三元一次方程与二元一次方程组的思想是一样的，先把三元转化为二元，然后再把二元转化成一元，仍然是消元的思想。方法也有代入消元法和代入消元法。我们一起来解决刚才这个方程组。

3

xyz12问题：x2y5z22

x4y分析：方法1：根据方程组的特点，第③个方程已经用含y的式子来表示x了。所以只需要把③方程分别代入①、②方程便可以消去未知数 x，得到一个只含有 y，z的二元一次方程组。

解法1：（代入消元法）把③分别①，②得：

5yz12

6y5z22y2解得：

z2把y＝2代入③得：x＝8 x8所以原方程组的解为：y2

z2

方法2：通过观察可以发现第③个方程是只含x，y的二元一次方程，所以只需要

①×5－②便可以消去未知数z，得到一个只含x，y的方程，与③方程组成一个二元一次方程组。

解法2：（加减消元法）①×5－②得：4x+3y＝38 ④

x4y③与

④组成方程组：

4x3y38x8解得：

y2把 x＝8，y＝2代入①得：z＝2 x8所以原方程组的解为：y2

z2

三、拓展延伸

1.在等式中 y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0;当x=2时，y＝3;当x=5时， y=60.求a,b,c的值。

分析：此题把a， b，c看着三个未知数，分别把x，y的值代入等式，就可以得到一个三元一次方程组。

4

abc0解：由题意得：4a2bc3

25a5bc60②－①得：a+b＝1 ④

③－①得：4 a+b＝10 ⑤

ab1④与⑤组成方程组得：

4ab10a3解得：

b2把 a＝3，b=-2代入①得：c=－5 a3所以原方程组的解为：b2

c52.（拓展延伸）已知|a-b-1|+（b-2a+c）2+2cb=0，求a、b、c的值。

分析：本题考查的是非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都等于0。

ab10解：由题意得：b2ac0

2cb0a3解得：b4

c23.（能力提高）现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共值7元。1角、5角、1元的硬币各取多少枚？

分析：此题是建立三元一次不定方程组这个数学模型来解决实际问题，用代入或者加减消元法消去其中一个未知数，得到一个二元一次不定方程，化简二元次方程，并确定其中一个未知数的取值范围，便可以求出方程的解。

解：设取出x枚1角的，y枚5角的，z枚1元的，由题意得：

xyz15

0.1x0.5yz7把三元一次方程组化为二元一次方程得：4y+ 9z＝55 y5解得：



z3把y=5,z=3代入①得： x=7 5

x7所以原方程组的解为y5

z3答：取出7枚1角的，5枚2角的，3枚1元的。

四、课堂小结

1.三元一次方程的概念

2.三元一次方程组的概念

3.三元一次方程组的解法

五、板书设计

根据实际情况，把板书分为三个板块：第一个板块是知识区，有助于逻列出当堂课所学的知识点；第二个板块是老师的示范区，为学生的作业提供示范的作用；第三个板块是教学活动。

三元一次方程组的解法

知识区

三元一次方程的概念

三元一次方程组的概念

示范区

例题：

练习题：

教学活动区

6