一元二次方程的概念课堂实录

认识一元二次方程

灵武市第三中学 冯秀萍

一、教学目标

1、经历由具体问题抽象一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的有效数学模型。

2、了解一元二次方程的有关概念，知道一元二次方程的一般形式，并能把一元二次方程化成一般形式。

3、让学生在解决有趣的数学问题中感受数学的美，激发学习兴趣。

二、教材分析

方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。在前几册学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决问题的经验，解决了一些实际问题。这是进一步学习一元二次方程的基础，学习一元二次方程也是为后续学习内容打基础的。

本节课通过具体问题情境（三个生活问题和一个数学问题）引导学生建立一元二次方程，让学生通过观察、类比、归纳概括出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。本节课的重点是经历具体问题情境建立有关方程，并归纳出一元二次方程的有关概念。难点是分析问题中的数量关系，建立方程模型。

本节课采用启发式教学方法，运用低起点、小步伐、多活动、快反馈的教学原则，鼓励学生自主探索、合作交流、动手实践，发现问题、展开讨论、解决问题，从而在师生互动，生生互动的合作中完成教学任务。

三、学校及学生状况分析

灵武三中作为市直属中学，学校具备了现代化的多媒体辅助教学手段，但是学生来自城郊农村及山区，学生的学习态度和知识储备存在着

很大差异。在数学实验新教材新理念的指导下，学生课堂参与意识逐步增强，具备了一定的合作交流、自主学习的能力。本节课学生有一定的认知基础，在教师有效的组织、引导下，能够完成学习任务。

四、教学设计

（一）创设情境，复习提问。

师：同学们在前面学过那些方程，请各举一例。这些方程各有什么特点？

师：用方程可以解决许多生活实际问题，你认为列方程解决问题分为哪几个步骤？

师：这一章我们将学习一元二次方程的有关知识。（板出章题和课题）。

[设计意图]：这样设计有利于新旧知识的衔接，形成严密的知识体系，使学生在旧知识的学习中找到新知识的生长点。通过类比一元一次

方程为学习一元二次方程作好铺垫。

（二）师生互动，探究新知

师：请将下列四个问题列出方程并化简。

问题一（视频仪出示）

剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片怎样剪？

师：同学们思考的很快，结果也是对的。你能列出方程吗？

师：同学们列的很正确。方程可化为x2+5x－150=0。

[设计意图]：设计一个学生易于解决的、面向全体学生的生活实际问题，学生都能参与，帮助学生理清列方程的思路，树立学习的信心。

问题二：（视频仪出示四周镶有漂亮花边的地毯，欣赏后出示问题）。

一块四周镶有宽度相等的花边地毯，它的长为8m,宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？

师：这是一个生活问题，我们应将其数学化，同学们小组合作完成。

（1）、画出数学图形。

（2）、将数量标注在图上。

（3）你能用代数式写出图中小长方形的长与宽吗？

（4）请你找出题中的等量关系。 （5）你能列出方程吗？

（6）将你列的方程化简。

（学生小组合作解答问题时，教师也参与到学生的学习活动之中，了解学生的思维障碍，启发、点拨学生）。

师：请各小组展示自己的成果。

师：同学们从不同的角度认真思考解决了这个问题，我们一起把方程进行化简得 2x2－13x+11=0。

问题三：（视频仪出示）

等式：102+112+122=132+142 师：同学们认真观察等式，你发现了什么？

师：同学们有双观察数学视角的眼睛，善于发现，欣赏数学的和谐美、对称美、奇异美。你还能找出其他的五个连续整数，满足规律吗？请各小组合作寻找解决问题的办法（师参与小组活动）。

师：（片刻之后）各小组展示成果。

师：我们一起将上面的方程化简，可得x2－12x=0。若将上述五个连续整数改为正整数，结果又如何？同学们课后思考。

[设计意图]：将问题放开，让学生观察、猜想，通过类比所学知识，启迪学生的思维，再将问题拓展延伸，让学生充分感受到数学的变化美，激发学习兴趣。

问题四：（视频仪出示生活中所用梯子的场景。）

出示问题：一个长10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少m？

师：请同学们画出数学图形，将数量标注在图上，

一名学生在黑板上完成。

师：请同学们发表自己的意见。

师：同学们用两种不同的方法解决了问题，我们可将方程化为

x2+12x－15=0。

（三）、归纳概括

师：同学们观察我们前面得到的四个方程：x2+5x－150=0，2x2－13x+11=0，x2－12x=0，x2+12x－15=0有什么共同的特点？

师：请同学们判断x2=（x－2）2是不是一元二次方程？

师：第二位同学回答很正确！判断是不是一元二次方程，必须化成最简后作判断。

视频仪出示一元二次方程的有关概念：

上面的方程都是只含有一个未知数的整式方程,且都可化为ax2+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。我们把 ax2+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0）叫做

一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项。a，b，分别称为二次项系数和一次项系数。

师：我们学过的

一元一次方程和一元二次方程都是整式方程。分式方程不是整式方程。还要注意（1）二次项系数、一次项系数、常数项都要带上前面的符号。（2）一元二次方程的一般形式的结构特点是二次项系数a≠0，等号一边是0。

师：请同学们举一个一元二次方程，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。

[设计意图]：让学生通过对所列方程共性的分析，用自己的语言归纳、概括一元二次方程的概念，同时，教师通过举反例、学生举例，加深学生对一元二次方程有关概念的理解，突出重点，突破难点。

（四）、巩固训练

随堂练习1、2课本p44－45页（略）。

（学生独立完成后，两名学生板演，师生交流）。

（五）、感悟与收获

师：通过本课的学习你有何收获？你学到那些解决数学问题的方法？

[设计意图]：让学生归纳概括本节课所学知识与方法，学会梳理知识，查漏补缺，加深对知识的理解与运用，达到巩固、深化、创新的目的，培养学生良好的学习品质。

（六）、布置作业

课本习题2、1，1题，2题（填在书上）。

五、教学反思

本节课在设计上突出了新课标的以下特色：

1、注重渗透数学思想方法。

（1）类比思想。学习一元二次方程类比一元一次方程，学生通过已学知识为新知识的学习铺路架桥，而新知识的学习是建构在学生已有的认知基础之上，符合学生的认知规律和心理特点。

（2）转化思想。把生活问题转化为数学问题，画出数学图形，标注数量关系，建构数学模型，有利于学生对问题的解决。

（3）、建模思想。让学生经历建构数学方程模型解决问题的过程，明确一元二次方程在现实情境中具有广泛的作用，体现了数学与生活实际的紧密联系，突出生活问题数学化的过程。

2、本节课教师设置丰富的问题情境，让学生真正经历方程模型化的过程，精心安排，以学生所熟悉的生活实例，为学生搭建交流、合作与活动的平台，并贯穿整个课堂。教学中始终运用低起点、小步伐、多活动、快反馈的教学原则，为学生创设成功的机会，做到重点突出，难点突破，使学生真正在活动中学习、在活动中思考、在活动中发展。

3、本课教学应用启发式教学，激发学生独立思考，合作交流和创新意识，并为学生创设宽松愉悦和谐的学习氛围，培养学生积极的情感、态度，促进学生观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美意识的发展。