命题、定理、证明1优秀教案设计

5.3.2

命题、定理、证明

1.掌握命题、定理的概念,并能分清命题的组成.

2.了解证明的意义.

通过讨论、探究、交流等形式,使学生在质疑、辩论中获得知识体验.

培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质.

【重点】

掌握命题、定理的概念,了解证明的意义.

【难点】

1.分清命题的组成,能说出一个命题的逆命题.

2.掌握推理的方法和步骤.

导入一:

我们学过一些对某一件事情做出判断的语句,例如:

(1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;

(2)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;

(3)对顶角相等;

(4)等式两边加同一个数,结果仍是等式.

像这样判断一件事情的句子叫做什么呢?

[设计意图]

通过教材的举例,直接导入本课时的学习.

导入二:

在直角三角形中,如果一条直角边长为3,另一条直角边长为4,那么这个直角三角形的斜边长是5.这个结论是否正确呢?如果我们说它是正确的,就要拿出相应的依据,或者去证明你的猜想是正确的.要认识这个问题,就需要我们了解一些命题、定理、证明的相关知识.

[设计意图]

通过学生可能掌握的常识性问题,引出一些结论只靠猜想和验证还是不够的,必须给予科学的证明.

[过渡语]

(针对导入一)像对顶角相等这样的句子叫什么呢?

一、命题的定义

定义:判断一件事情的语句,叫做命题.

问题:下列语句,哪些是命题?哪些不是?

(1)过直线AB外一点P,作AB的垂线;

(2)过直线AB外一点P,可以作几条直线与AB平行?

(3)经过直线AB外一点P,有且只有一条直线与这条直线平行;

(4)若|a|=-a,则a≤0.

处理方式:(1)教师总结:(3)(4)这两个句子的共同特征是对一件事情做出判断;(2)指明概念以后,安排学生举例;(3)教师评价和鼓励学生.

(补充)判断下列语句是不是命题.

(1)两条直线相交有几个交点?

(2)相等的角是对顶角;

(3)画∠AOB=30°;

22(4)如果x=y,那么x=y.

〔解析〕

问句一定不是命题,只有对一件事情做出判断的句子才是命题,而与是否正确无关.

解:(1)(3)不是命题,(2)(4)是命题.

[知识拓展]

(1)必须是对某件事情作出判断的句子,才能叫命题,反之不能作出判断的句子,不叫命题,这是辨别一个语句是否是命题的根本原则.

(2)命题的形式并非全部是语言叙述的形式,也可以用数学符号表示.

(3)命题的内容并非全部为数学语言,还有生活中其他方面更广泛的内涵.

二、命题的组成

[过渡语]

命题的形式多种多样,命题是由哪些部分组成的呢?

命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.

命题常写成“如果……那么……”的形式,这时,“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论.

1.处理方式.

教师直接给出命题的组成包括两部分,题设和结论.并向学生解释命题的常见形式,即以“如果……那么……”的形式展现.强调有些命题的形式不明显,需要先将它写成以上形式.

2.例题讲解.

(补充)指出下列命题的题设和结论.

(1)对顶角相等;

(2)不相等的两个角不是对顶角.

〔解析〕

根据题意,适当增减词语,将原命题改写成“如果……那么……”的形式.用“如果”开始的部分即为题设,用“那么”开始的部分即为结论.

解:(1)题设:两个角是对顶角.结论:这两个角相等.

(2)题设:两个角不相等.结论:这两个角不是对顶角.

[知识拓展]

(1)任何命题都由“题设”和“结论”构成.已知的事项为题设,在命题的前半部分;由已知事项推出的结果是结论,在命题的后半部分.

(2)辨别题设和结论时,通常将命题改写为“如果……那么……”的形式,“如果”以后的内容为题设,“那么”以后的内容为结论.改写时需在不改变原意的情况下,适当补充词语,使语句通顺、完整.

三、命题的真假

[过渡语]

凡是命题都是正确或者是错误的吗?

1.判断下列命题是否正确.

(1)如果两个数互为相反数,那么这两个数的商为-1;

(2)如果两个角是邻补角,那么这两个角互补;

(3)如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0;

(4)如果两个数的商为-1,那么这两个数互为相反数;

(5)如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数;

(6)如果两个角互补,那么这两个角是邻补角.

2.真命题和假命题.

如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫真命题;有些命题中,题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题.

3.例题讲解.

(补充)“相等的角是对顶角”是真命题吗?如果是,说出理由;如果不是,请举出反例.

〔解析〕

对事情做出判断,若正确,即为真命题,否则,是假命题.若为真命题,可通过讲道理说明,若为假命题,可通过举一反例说明.

解:不是真命题,如下图中∠1=∠2,但∠1与∠2不是对顶角.

[知识拓展]

命题的真假是以对事情所作出判断的正确与否来划分的.

四、定理和证明

[过渡语]

命题有真有假,有的命题不是一目了然就能辨出真假,怎么办呢?这就需要我们用推理的方法来加以证明.

1.定理.

定理与命题的联系,定理属于命题,而且属于真命题.即定理都叫命题,但命题不一定是定理.

2.如果是真命题,可以经推理证明其正确性,若判断为假命题,则需举反例说明或用反证法的思想说明.

(教材例2)如图所示,已知直线b∥c,a⊥b.求证a⊥c.

〔解析〕

要证明a⊥c,只需要证明∠2为90°即可.如果能证明∠1=∠2,问题即可解决.

证明:因为a⊥b(已知),

所以∠1=90°(垂直的定义).

又b∥c(已知),

所以∠2=∠1(两直线平行,同位角相等).

所以∠1=∠2=90°(等量代换),

所以a⊥c(垂直的定义).

[知识拓展]

证明的实质是将命题的题设实现为命题的结论,为原因(题设)与结果(结论)架设一座桥梁,不论采取什么方法,只要用已经学过的知识、有理论依据地推出结论就可以,因此证明同一个命题会有多种方法.

1.命题的“题设”和“结论”是就命题的结构而言,任何一个命题都包含这两部分,而且“题设在前,结论在后”.对于这两部分不明显的命题,需挖掘隐含的内容,将它写成“如果……那么……”的形式,再辨别.

2.命题的“真”“假”是对命题的内容而言的.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需推理、论证,而说明一个命题的错误性只需举出一个反例即可.

3.证明中的每一步推理都要有根据,根据可以是已知条件,也可以是学过的定义、基本事实、定理等.

1.下列语句中不是命题的是

(

)

A.锐角小于钝角

B.作角A的平分线

C.对顶角不相等

D.股票不是人民币

解析:根据命题的定义:对一件事情作出判断的语句叫做命题进行解答.“锐角小于钝角,对顶角不相等,股票不是人民币”都对一件事情作出了判断,而“作角A的平分线”描述的是一种行为,没有作出判断,不是命题.故选B.

2.下列命题中,正确的是

(

)

A.对顶角相等

B.同位角相等

C.内错角相等

D.同旁内角互补

解析:对顶角相等,正确;在两平行线被第三条直线所截的条件下,B,C,D才正确.故选A.

3.请给假命题“一个正数永远大于它的倒数”举出一个反例:

.

解析:判断“一个正数永远大于它的倒数”什么情况下不成立,即找出一个正数小于或等于它的倒数即可.答案不唯一.故填,<=2.

5.3.2

命题、定理、证明

1.命题的定义

例1 2.命题的组成

例2 3.命题的真假

例3 4.定理和证明

例4

一、教材作业

【必做题】

教材第21页练习第1题;教材第22页练习第1题.

【选做题】

教材第24页习题5.2第13题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.给出下列语句:①两点之间,直线最短;②不许大声讲话;③连A,B两点;④鸟是动物;⑤不相交的两条直线叫做平行线.其中是命题的有

(

)

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

2.下列命题中真命题是

(

)

A.同位角相等

B.两点之间,线段最短

C.相等的角是对顶角

D.互补的角是邻补角

3.下面各数中,可以用来证明命题“任何偶数都是8的倍数”是假命题的反例是

(

)

A.9 B.8 C.4 D.16 4.说出下列命题的题设和结论.

(1)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直;

(2)钝角大于它的补角.

【能力提升】

5.下列说法中正确的是

(

)

A.两直线被第三条直线所截得的同位角相等

B.两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补

C.两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直

D.两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直

6.下列说法错误的是

(

)

A.所有的命题都是定理

B.定理是真命题

C.公理是真命题

D.“画线段AB=CD”不是命题

27.下列选项中,可以用来证明命题“若a>1,则a>1”是假命题的反例是

(

)

A.a=-2 B.a=-1 C.a=1 D.a=2 8.将下列命题改写成“如果……那么……”的形式.

(1)直角都相等;

(2)等量代换;

(3)末位数是5的整数能被5整除;

(4)三角形的内角和是180°.

【拓展探究】

9.判断下列语句是不是命题,如果是命题,并判断命题是否正确.

(1)连接AB;

(2)如果两平行线被第三条直线所截,那么内错角相等.

10.判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,举一个反例.

(1)两条直线被第三条直线所截,同位角相等;

(2)如果a>b,那么ac>bc;

(3)两个锐角的和是钝角.

【答案与解析】

1.B(解析:判断一件事情的语句是命题,由此可判断出①④⑤是命题.)

2.B(解析:根据平行线的性质对A进行判断;根据线段最短的公理对B进行判断;根据对顶角的定义对C进行判断;根据邻补角的定义对D进行判断.A.两直线平行,同位角相等,所以A选项错误;B.两点之间,线段最短,所以B选项正确;C.相等的角不一定是对顶角,所以C选项错误;D.有一条边共线且互补的两个角是邻补角,所以D选项错误.故选B.)

3.C(解析:根据偶数与倍数的定义对各选项进行验证即可.A.9不是偶数,故本选项错误;B.8是8的倍数,故本选项错误;C.4是偶数但不是8的倍数,故本选项正确;D.16是8的倍数,故本选项错误.故选C.)

4.解:(1)题设:两角互为邻补角,结论:它们的平分线互相垂直.

(2)题设:一个角是钝角,结论:这个角大于它的补角.

5.D(解析:A.两平行线被第三条直线所截得的同位角相等,原说法错误,故本选项错误;B.两平行线被第三条直线所截得的同旁内角互补,原说法错误,故本选项错误;C.两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相平行,原说法错误,故本选项错误;D.两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直,说法正确,故本选项正确.故选D.)

6.A(解析:A.定理是真命题,但假命题不是定理,故错误,本选项符合题意;B.定理是真命题,C.公理是真命题,D.“画线段AB=CD”不是命题,均正确,不符合题意.故选A.)

27.A(解析:根据要证明一个结论不成立,可以通过举反例的方法来证明.用来证明命题“若a>1,则a>1”是假命题的反2例可以是a=-2,因为a>1,但是a=-2<1,所以A正确.故选A.)

8.解:(1)如果几个角是直角,那么它们都相等.

(2)如果两个量相等,那么它们可以互相代换.

(3)如果一个数的末位数是5,那么它能被5整除.

(4)如果一个图形是三角形,那么它的内角和是180°.

9.解:(1)“连接AB”不是判断一件事情的语句,所以不是命题.

(2)“如果两平行线被第三条直线所截,那么内错角相等”是命题,是正确的命题.

10.解:(1)假命题.两直线不平行时不成立,可通过画图说明,图略.

(2)假命题.当c≤0时不成立,如3>2,但3×0=2×0.

(3)假命题.如α=20°,β=50°,则α+β=70°不是钝角.

本课时是学生学习证明的正式开始,理解相关几个概念不是难点,难点是领会证明的基本思路和要领.因此本课时在引导学生准确理解相关定义的基础上,通过较多的例题,给学生做证明问题的示范,突出了课时教学的重点,取得了较好的课堂学习效果.

在前面基本定义的教学过程中,老师的讲解过多,出示给学生问题阅读提纲,通过学生交流后老师总结即可.这在一定程度上限制了学生课堂学习的主动性.

在课时教学过程中,命题的例子基本都是老师呈现给学生的,可以尝试让学生根据所学知识,按照一定的要求自拟几个命题,这样更有利于理解命题的相关含义.对于为什么要进行证明和证明的意义要加以点拨,对于可以作为证明的依据也要帮助学生归纳和总结一下.

练习(教材第21页)

1.解:(1)题设:AB⊥CD,垂足为O;结论:∠AOC=90°.

(2)题设:∠1=∠2,∠2=∠3;结论:∠1=∠3.

(3)题设:两直线平行;结论:同位角相等.

2.提示:答案不唯一,如“对顶角相等”“两直线平行,同位角相等”等.

练习(教材第22页)

1.同旁内角互补,两直线平行

两直线平行,同旁内角互补

2.解:不是真命题.如图所示,∠1和∠2是同位角,但不相等.

习题5.3(教材第22页)

1.解:135°.因为转弯后公路方向相同,即平行,而且两次拐弯时的角为内错角,必然相等.

2.解:因为AD∥BC,所以∠A+∠B=180°,所以∠B=180°-∠A=120°.因为DC与AB可能平行,也可能不平行,所以∠D的度数不确定.

3.解:(1)∠2=110°.两直线平行,内错角相等.

(2)∠3=110°.两直线平行,同位角相等.

(3)∠4=70°.两直线平行,同旁内角互补.

4.解:∠2=80°,∠3=110°,∠4=110°.理由如下:因为a∥b,所以∠2=∠1=80°.因为a∥b,所以∠3+∠5=180°,所以∠3=180°-∠5=110°.因为a∥b,所以∠4=∠3=110°.

5.解:应以60°铺设.因为两直线平行,同旁内角互补.

6.内错角相等,两直线平行

两直线平行,内错角相等

7.(1)C

(2)C(解析:(1)两直线平行,内错角相等.(2)两直线平行,同旁内角互补.)

8.解:∠3=∠1=45°,∠4=∠2=122°,∠5=180°-∠2=58°,∠6=180°-∠4=58°,∠7=180°-∠1=135°,∠8=180°-∠3=135°.

9.解:(1)因为∠1=∠2,且∠1和∠2为内错角,所以AB∥EF.

(2)因为DE∥BC,∠1和∠B为同位角,∠3和∠C为同位角,所以∠1=∠B,∠3=∠C.

12.解:(1)假命题.30°与60°和为直角;70°与80°和为

钝角.

(2)真命题.

(3)假命题.如三角形中任意两角均互为同旁内角,但它们不互补.

13.解:(1)∠C

两直线平行,内错角相等

两直线平行,同旁内角互补

(2)∠A'B'C'

角平分线定义

等量代换

14.解:(1)∠DAB=∠B=44°,两直线平行,内错角相等.

(2)∠EAC=∠C=57°,两直线平行,内错角相等.

(3)∠BAC=180°-∠DAB-∠EAC=79°.通过此题可知∠B+∠C+∠BAC=∠DAB+∠EAC+∠BAC=180°.

15.解:因为镜子是平行的,所以∠2=∠3(两镜子被竖直光线所截).又因为∠1=∠2,∠3=∠4,所以∠5=∠6,所以进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的(内错角相等,两直线平行).

求证:如果两条平行线被第三条直线所截,那么同旁内角的平分线互相垂直.

〔解析〕

首先应读懂题意,画出相应的图形,并写出已知、求证,然后再考虑找出证明的途径.

已知AB∥CD,EF交AB于点E,交CD于点F,EM平分∠BEF,FN平分∠EFD,FN交EM于点O,如图所示.求证EM⊥FN.

证明:因为AB∥CD,

所以∠BEF+∠EFD=180°.

因为EM平分∠BEF,FN平分∠EFD,

所以∠MEF=∠BEF,∠NFE=∠EFD,

所以∠MEF+∠NFE=90°,

所以∠EOF=90°,所以EM⊥FN.

如图所示,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于M,N,MP平分∠EMB,NQ平分∠MND,那么MP∥NQ,为什么?

〔解析〕

本题考查平行线的性质与判定,要说明平行,可寻找满足条件的同位角、内错角、同旁内角的关系,可由条件AB∥CD及角平分线的定义得到平行.

解:因为AB∥CD(已知),

所以∠EMB=∠MND(两直线平行,同位角相等).

因为MP平分∠EMB,NQ平分∠MND(已知),

所以∠EMP=∠EMB,∠MNQ=∠MND(角平分线定义),

所以∠EMP=∠MNQ(等量代换),

所以MP∥NQ(同位角相等,两直线平行).

[规律方法]

两平行线被第三条直线所截而成的同位角平分线,内错角平分线均互相平行,同旁内角平分线互相垂直.