命题、定理、证明1教学设计与反思

5.3.2

命题、定理、证明

【学习目标】1.掌握命题的概念,会区分题设和结论；

2.了解命题的分类，理解公理和定理的联系与区别

3.经历判断命题真假的过程，明确证明和举反例的作用

【学习重点】①简化命题的扩充 ②区分命题的题设与结论

【学习难点】①几何真命题的证明 ②构造反例判断假命题的失真性

【知识链接】

回忆平行线的3个主要判定方法和3条性质

思考：①3个判定方法的共同点是

；3条性质的共同点是

.

②平行线的判定和性质的区别是

。

③判定和性质的已知条件与结论有何关系？

【知识链接】（一）命题：

看下列语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断

①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行;

②等式两边都加同一个数,结果仍是等式;

③对顶角相等; ④如果两条直线不平行,那么同位角不相等. 1.命题定义：判断一件事情的语句，叫做

2.练习：下列语句,哪些是命题?哪些不是?请你再举出一些命题的例子。

(1)过直线AB外一点P,作AB的平行线. (2)过直线AB外一点P,可以作一条直线与AB平行吗? (3)经过直线AB外一点P, 可以作一条直线与AB平行.

（二）命题的构成：

1.许多命题都由

和

两部分组成。

是已知事项，

是由已知事项推出的事项. 2.命题常写成"如果……那么……"的形式, 这时,"如果"后接的部分是

,"那么"后接的的部分是

. ．．．．．．．．．．．3.将命题的题设和结论交换位置可得到一个新命题，它是原来命题的逆命题。

（三）命题的分类

1.由命题正确与否，命题可分为 和 ；题设和结论都成立的命题叫做 ；

如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做 . 2.人们在实践中归纳总结出的客观事实，不需证明的真命题叫做公理 .

经过严密逻辑推理证实的，可以作为继续推理的依据的真命题叫做定理 .

公理和定理及其推论都是真命题

（四）证明和举反例

1.在很多情况下，一个真命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做 ；

要判断一个命题是假命题，只需举一个

，它符合题设，但不满足结论就可以了。

2.概念的定义、已知条件、学过的公理和定理及其推论都是我们推理的重要依据。

【自学自测】

1.

把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式为：

如果 ，那么 . 2.

命题“同位角相等”的题设是 ；结论是 探究点1：命题的定义与结构

例1.判断下列四个语句中，哪个是命题，

哪个不是命题？并说明理由：

（1）对顶角相等吗？

（

）

（2）两条线段是相等的线段吗?（

）

（3）画一条线段AB=2cm;

（

）

（4）取线段AB的中点C；（

）

（5）两条直线平行，同位角相等；（

）（6）两条直线相交，有且只有一个交点（

）

（7）不相等的两个角不是对顶角（

）

（8）相等的两个角是对顶角（

）

探究点2：命题的结构

练一练：把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.并指出它的题设和结论. （1）对顶角相等；

（2）内错角相等；

（3）两直线被第三条直线所截，同位角相等；

（4）平行于同一直线的两直线平行；

（5）等角的补角相等.

练一练：判断下列命题的真假.真的用“√”，假的用“×

表示. （1）同旁内角互补（

）

（2）一个角的补角大于这个角（

）

（3）相等的两个角是对顶角（

）（4）两点可以确定一条直线（

）

（5）两点之间线段最短（

）

（6）同角的余角相等（

）

（7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（

）

二、课堂小结

命题的定义

命题的分类

判断一件事情的句子

真命题

假命题

公理（客观事实，不需证明）

定理（逐步证明，推理证实）

假命题（只需举一个反例）

命题的组成

句式：“如果……（题设），那么……（结论）.”

1.下列语句中，不是命题的是(

) A.两点之间线段最短 B.对顶角相等

C.不是对顶角不相等 D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线

2.下列命题中，是真命题的是(

) A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0 C. 若a·b＝0，则a＝0且b＝0 D.若a·b＝0，则a＝0或b＝0 3.下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？

（1)猪有四只脚； （2)垂直于同一直线的两直线平行； （3)画一条直线； （4)过点P画线段MN的垂线；

（5)四边形是正方形； （6)你的作业做完了吗？ （7)内错角相等，两直线平行； （8)内错角相等； （9)x＞2. 4.举反例说明下列命题是假命题．

(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；

(2)若ab＝0，则a＋b＝0. 5.在下面的括号内，填上推理的依据. 如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE ,求证：∠ B+ ∠D=180°

证明：

∵ AB ∥ CD, CB ∥ DE

∴

∠B= ∠C( ) ∠ C+ ∠ D=180°( )

∴

∠ B+ ∠ D=180°( ) 6.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分

∠BPQ，QH平分∠CQP，求证：PG∥HQ.

【合作探究】

1、指出下列命题的题设和结论:

(1)如果两个数互为相反数,这两个数的商为-1; (2)两直线平行,同旁内角互补; (3)同旁内角互补,两直线平行; (4)等式两边乘同一个数,结果仍是等式; (5)绝对值相等的两个数相等. (6)如果AB⊥CD，垂足是O，那么∠AOC＝90°

2、把下列命题改写成"如果……那么……"的形式:

（1）互补的两个角不可能都是锐角：

。

（2）垂直于同一条直线的两条直线平行：

。

（3）对顶角相等：

。

3、判断下列命题是否正确: (1)同位角相等

(2)如果两个角是邻补角,这两个角互补; (3)如果两个角互补,这两个角是邻补角. 【达标测评】

1、判断下列语句是不是命题

（1）延长线段AB（

）（2）两条直线相交，只有一交点（

）

（3）画线段AB的中点（

）（4）若|x|=2，则x=2（

）

（5）角平分线是一条射线（

）

2.下列语句不是命题的是（

）

A、两点之间，线段最短

B、不平行的两条直线有一个交点

C、x与y的和等于0吗？

D、对顶角不相等。

3.下列命题中真命题是（

）

A、两个锐角之和为钝角

B、两个锐角之和为锐角

C、钝角大于它的补角

D、锐角小于它的余角

4.命题：①对顶角相等；

②垂直于同一条直线的两直线平行；

③相等的角是对顶角；④同位角相等。

其中假命题有（

）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

5.分别指出下列各命题的题设和结论。

（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c （2）同旁内角互补，两直线平行。

6.分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式。

（1）两点确定一条直线；

（2）等角的补角相等；

（3）内错角相等。

7.如图,已知直线a、b被直线c所截,在括号内为下面各小题的推理填上适当的根据: (1)∵a∥b,∴∠1=∠3(_________________); 3

(2)∵∠1=∠3,∴a∥b(_________________); b

2

4

(3)∵a∥b,∴∠1=∠2(__________________); 1

(4) ∵a∥b,∴∠1+∠4=180º

(_____________________) a

(5)∵∠1=∠2,∴a∥b(__________________); c

(6)∵∠1+∠4=180º,∴a∥b(_______________). A E 8.已知：如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求证：BE∥CF 1 证明：

∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）

C B

∴

=

=90°（

）

2

∵∠1=∠2（已知）

F D

∴

=

（等式性质）

∴BE∥CF（

）

9.已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角。

C 求证：∠ACD=∠B。

证明：

∵AC⊥BC（已知）

∴∠ACB=90°（

）

B

∴∠BCD是∠ACD的余角

A D

∵∠BCD是∠B的余角（已知）

∴∠ACD=∠B（

）

10.已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。

求证：AD∥BE。

A D 证明：

∵AB∥CD（已知）

2

∴∠4=∠

（

）

1 F

∵∠3=∠4（已知）

4 3 B C E

∴∠3=∠

（

）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（

）

即∠

=∠

∴∠3=∠

（

）

∴AD∥BE（

）