2.2.1 直线的参数方程教学评价实录

《直线参数方程的应用》教学设计

重庆市开州中学 肖将军

一．教学内容分析

从知识的重点性考察分析，必修课本与选修课本中分别学习了直线的方程和圆锥曲线的内容，它们都是高考的重点内容，也是学生学习的难点之一，若将两者结合起来，复杂的推理和大量的运算更使学生望而生畏。如果通过直线方程的另一种形式——参数式，则可能使问题的解决变得简单了，而且可以让我们从一个崭新的角度去认识这些问题。另外，从内容的人文价值上来看，直线参数方程的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

二．教学目标

1.知识技能

熟悉直线的标准参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．

2.

过程与方法

能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义

。 3.

情感、态度与价值观

通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度． 4.

教学重点

掌握直线参数方程的标准形式并理解其参数的几何意义；会应用参数的几何意义解决与距离有关的问题。

5.

教学难点：会应用参数的几何意义解决与距离有关的问题。

三．学习者特征分析

本节课的知识量比较小，在上课之前让学生做一个简单的复习。但是我们会发现课堂上一部分学生由于基础知识不扎实，导致课堂上简单的计算出错，从而影响到学生在做练习时反映出的思维比较的缓慢及无法进行有效的思考的问题。

因此，本节课采用启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以直线的参数方程为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生理解。同时也有意识的增加学生计算量，有待于在以后的教学中督促学生加强动笔的频率，减少惰性。

四．教学过程设计

模块一 基础知识 x＝x0＋tcos α，1.(1)过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(ty＝y0＋tsin α

为参数)．

x＝x0＋at，(2)对于形如y＝y0＋bt

(t为参数)的参数方程，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．

1

(3)直线参数方程的应用：直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离问题．它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但应用直线的参数方程时，需先判断是否是标准形式再考虑参数的几何意义．

2．常见结论

根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：

过定点P的直线与圆锥曲线相交，交点为A，B，所对应的参数分别为t1，t2. (1)弦长l＝|t1－t2|；(2)弦AB的中点⇒t1＋t2＝0；(3)|PA||PB|＝|t1t2|. (4)设线段AB的中点为M,则点M对应的参数为tM=

. 典型例题：

(t为参数,0≤α<

x轴正半轴为极轴建立坐标系，π),以o为极点，曲线C的极坐标方程为ρ=6sin θ.

(1)求曲线C的直角坐标方程; (2)若点P(1,2),设曲线C与直线l交于点A,B,求|PA|+|PB|的最小值.

1.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为

解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=6sin θ，可得C的普通方程是x2(y3)29

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，

化简得t22(sincos)t70，令A,B对应的参数分别为t1,t2

t1t22(sincos),t1t27c故|PA||PB||t1t2|(t1t2)24t1t2324sin2

当sin21时，（|PA|+|PB|)min27

变式训练：求|PA||PB|的值

点评：这是一道关于直线标准参数方程的问题，通过本题让大家再次熟悉直线参数方程的标准形式及其参数t的几何意义.

2．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝3＋tcos α，y＝tsin α1x＝cos θ(t为参数)，直线l与曲线C：y＝tan θ

，

(θ为参数)相交于不同的两点A，B.(1)若α＝π，求线段AB的中点的直角坐标；(2)3若直线l的斜率为2，且过已知点P(3,0)，求|PA|·|PB|的值．

2

1x＝cos θ解：(1)由曲线C：y＝tan θ，

(θ为参数)，可得曲线C的普通方程是x2－y2＝1.

1x＝3＋t，2π当α＝时，直线l的参数方程为33y＝t2代入曲线C的普通方程，得t2－6t－16＝0，

得t1＋t2＝6，所以线段AB的中点对应的t＝933. 故线段AB的中点的直角坐标为，22(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得(cos2α－sin2α)t2＋6cos αt＋8＝0，

2881＋tanα＝则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝222cosα－sinα1－tanα

(t为参数)，

t1＋t22＝3，

，

由已知得tan α＝2，故|PA|·|PB|＝40. 3点评：通过本题让大家熟悉中点对应的参数及其几何意义. 2xt23.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程，以(t为参数，aR）ya2t2o为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为sin2=2cos. （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l过点P（1,1）且与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|. l:xya解：（1）C:y22x

(2)

因为直线l过点P（1,1）,所以a=2 解法一：将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得t262t80，

3

令A,B对应的参数分别为t1,t2，t1t262,t1t28

|PA||PB||AB|又P（1,1）在抛物线内部，(t1t2)24t1t2210解法二：将直线L

2x1t的参数方程化为2(t为参数，aR）2y1t2

t242t20将上述参数方程带入抛物线中得t1t242,t1t22|PA||PB||AB|2

(t1t2)4t1t2210

点评：本题的亮点在于第二问中题目要求的定点和直线参数方程给的定点不一致，因此，我们有两种方法来解决此类问题。第一种是，确定要求的定点和曲线的位置关系，再利用t的几何意义解决弦长的相关问题。第二种是，将曲线的参数方程化为要求定点的相关参数方程，直接运用直线参数t的几何意义解决问题。

4.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a,1)，其参数方程为x＝a＋2t，y＝1＋2t

(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0. (1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．

解：（1）

C1的参数方程{xa2ty12t,消参得普通方程为xya10,

4

C2：y24x; 2t2（2）将曲线C1的参数方程标准化为{ (t为参数, aR) 2y1t2xa1代入曲线C2:y24x得t22t14a0, 2得D0,得a0, 设A,B对应的参数为t1,t2,由题意得t12t2即t1﹣2t2或t12t2, 1当t1﹣, 2t2时, {t1t222,解得a36t1t2214a9当t12t2时, {t1t222解得a, 4t1t2214a19或.

364点评：像这样的不是标准参数方程的题目，我们一般想将其转化为标准参数方程的形式，再利用参数的几何意义解决问题。

五．归纳总结，提升认识 教师在学生总结的基础上再进行概括．

1．知识小结

本节复习了直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用．

2．思想方法小结

在研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思想。

t12t2t12t2综上: a六．教学评价设计

本节课研究了直线的参数方程，并重点研究了标准参数方程的应用．本节课注重知识的产生过程，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．在教学过程中渗透运动与变化、数形结合、类比、转化等数学思想，关注学生的参与和知识的落实．

本节课选择直线的参数方程的参数是比较困难的，这是因为从确定直线的几何条件较难联想到“距离”．因此在教学中除了复习预备知识以外，还复习了数轴．联系数轴上点的坐标的几何意义，类比得到平面直角坐标系中的任意一条直线都可以当成数轴，这样直线上任意一点就可以用坐标t表示，因此可以选择坐标t为直线参数方程中的参数．从而，建立直线的参数方程就转化为建立坐标t与

5

坐标x0,y0及倾斜角之间关系的问题．这样设计既注重了知识的产生过程，又使学生深刻理解了参数的几何意义．

在教学过程中，注重以教师为主导，学生为主体的教学模式．在实施教学和完成教学目标的过程中，适时将学生分组讨论、师生对话、学生动手、学生归纳小结等方式服务于“参数方程”知识的重点和难点的教学中，充分体现了以人为本，鼓励全体学生参与以及重视学法指导的教学新理念．

七．教学板书

直线的参数方程的应用

1.直线的参数方程（定义）

2.一些常见的结论

3.例题分析

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