5.5 用二次函数解决问题PPT及课堂实录内容

二次函数的应用——拱桥问题

徐钰倩 教材分析：

本节内容为苏科版九年级下册第6章第4节内容，在此之前学生已经学习了二次函数概念、性质和图象，已经掌握了二次函数的一般知识，具备实际运用的能力。作为在无锡生活的同学，一定对无锡拱桥印象深刻，本节内容就是建立在身边熟悉的生活经验的基础上，研究课本中关于拱桥问题，进而巩固二次函数相关知识。二次函数为苏科版九年级下知识，本节内容适合刚学完二次函数性质与图象的同学，用于预习新知本节内容也可以作为中考复习同学,巩固二次函数相关知识，巩固数学方法解决实际问题的一般步骤。

学情分析：

本节课的授课对象是九年级的学生，在此之前，学生已掌握了求二次函数解析式的方法并理解图像上的点和图像的关系，并且学习了一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程、一次函数的应用，以及初步的二次函数的应用，经历了多次从实际问题抽象出数学知识再运用相关知识解决实际问题的过程。因此他们有解决简单实际问题的基础知识和基本能力。但是，由于函数知识的抽象性，多数学生在学习时应用函数的意识并不强；同时，他们从实际问题中抽象出数学问题的能力以及已有的数学知识去解决的能力也是比较弱的。

教学目标：

①知识与能力目标:体会二次函数拱桥问题模型，了解数学的实际应用价值，掌握用数学解决实际问题的一般方法及步骤。

②过程与方法目标:通过引导学生对实际问题的思考，培养学生善于发现实际问题，提高学生利用数学解决实际问题的兴趣。

③情感、态度、价值观目标:本节内容建立在学生家乡桥的基础上，培养学生热爱家乡的情感，同时激发学生勇于思考，善于创新，培养积极主动利用数学解决实际问题的态度。4、重难点分析: 重点:理解二次函数解决实际问题的-般方法并能灵活运用。

难点灵活运用二次函数解决实际问题。

教学过程：

一、问题导入

1、你已经学习了二次函数的什么知识？

生：二次函数的表达式，图像和性质，

2、谈谈你对二次函数的认识，想想我们还需要研究什么问题？

生：二次函数的实际应用

【设计意图】回忆二次函数的相关知识点，为本节课学生能更快的求二次函数的解析式以及用二次函数来解决问题做铺垫。

二、问题探究

用多媒体出示题例：

闻名中外的赵州桥是我国隋朝建造的一座近似抛物线状的石拱桥.

赵州桥桥下水面宽约40m,水面到桥底拱顶的高约8m. 师：由以上信息，你能精确描述这条桥拱所呈的

抛物线吗? 生：需要建立平面直角坐标系，根据题意表示出

点的坐标，然后求出函数关系式。

学生独立分析题意，一名同学口述，教师板书，学生将原图中的抛物线抽象出来，分析要解决的数学问题。

【设计意图】在独立审题的过程中，经历在具体情境中抽象出数学知识的过程。

生1建立了右图所示的坐标系，并求出此时的函数关系式. 师：大家认同他的做法吗？这题是否唯一？

学生通过谈论交流，出现了多种建系方法。

yyyooxxy

o ox发现有不同的建系方法，所得的抛物线关系式不同。学生通过交流讨论，但x是所有抛物线的a值一样。

【设计意图】一题多解，同时让学生对比，激发学生的思维，又能够体验到解决问题的方法多样性，同时比较体会建系时要考虑如何才能简化问题。

回顾

“桥梁建筑”

解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？

解题步骤：

1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出示意图; 2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.确定相关点的坐标；

3.选用适当的解析式求解; 4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题. 【设计意图】师生共同小结，总结解题步骤、注意要点，以及数学思想。

三、例题示范

一座抛物线拱桥,桥下的水面离桥孔顶部3m时，水面宽6m. (1) 试建立合适的直角坐标系，并求出该抛物线桥拱对应的二次函数关系式;

(2) 当暴雨过后，水位上升1m时,水面宽多少(精确到0.1m)?

(3) 一艘装满物资的小船，露出水面的部分的高为0.5米、宽为4米，暴雨后这艘船能从这

座拱桥下通过吗？

（1）

解

：建立如图所示的平面直角坐标系。

A

由题意得：A（0，0）

B（-3，-3）

C（3，-3）

设抛物线解析式：yax2（a0）

代入B(-3,-3) 得aC

所以：y1

312x

3（此题学生有多种建系方法，但发现a值不变，也可以此为检验的依据。）

（2）水位上升1m，y2

将

y2

代入得x6



水面宽26米。

（3）略

【设计意图】进一步巩固建立平面直角坐标系，让学生懂得实际问题的处理方法以及书写的要求。

四、当堂反馈

师：下面请同学自己尝试解决变式问题。（多媒体展示）

某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．

(1)某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由．

(2)现要求隧道顶部自左向右等水平距离安装四个照明灯，试求最低的照明灯到路面的高度？

【设计意图】通过变式练习，巩固所学方法，提高学生应用数学知识解决问题的能力。

五、当堂小结

1.谈谈本节课有什么收获？

2.本节课运用了哪些数学思想？

抽象

运用

实际问题

数学问题

解决问题

转化

数学知识

3.

建系时需要考虑什么问题？

虽然建系的方法不唯一，求得的解析式也不同，但是建系的不同，不会影响问题的解决，只是影响点的坐标而已，那么我们观察下同学所建的这几张图，它们之间有什么联系吗？（其中一个函数可以看作由其他的函数经过上或下或左或右的平移变化得到的。）这也说明，如果从图像的平移角度来看，把同一个抛物线在不同的坐标系下，可以看作是在平移坐标系。

师：数学来源于生活，又应用于生活，它能够解决生活中的实际问题，这正是我们学习数

学的价值。

【设计意图】归纳小结，梳理提升。

六、作业

课课练

【设计意图】进一步巩固本节课的相关知识点。