综合PPT配套教学设计内容

6.4探索三角形相似的条件（5）

教学内容：

教材第62-63页，探索三角形相似的条件5 教材分析：

本节课是在学生学习圆的相关知识和三角形的垂心、内心、外心及相似的基础上进行的，进一步掌握圆的相关知识和三角形相似知识；三角形的四心得性质常用于立体几何、解析几何、向量的证明及计算中. 教学目标：

1.能利用相似三角形的判定条件结合圆的性质，在圆中判定两个三角形相似；

2.经历“观察、操作—探索、猜想—推理”的活动过程，发展合情推理与演绎推理能力; 3.经历画三角形任意两条中线，测量交点与顶点的距离和交点到对边中点的距离，并计算二者的比值的过程，了解重心的概念，并会解决一些简单问题. 教学重点

圆中的相似三角形与三角形重心的概念及性质; 利用三角形相似的条件判定三角形相似，并能初步综合运用相关知识解决简单问题. 教学难点

三角形重心概念的推导; 掌握相似三角形判定方法的应用. 学习过程：

知识点1：圆中的相似三角形

例：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，AD的延长线交△ABC的外接圆于点E. △ABE与△CDE相似吗？为什么？

解：△ABE与△CDE相似. AABACABAC

AEB=AEC BODEC又DDABE∽CDE

拓展与延伸：上图中还有哪几对相似三角形？把它们分别表示出来.

△ABD ∽△CED △ABD ∽△AEB △ACD ∽△BED △ACD∽△AEC

△AEC∽△BED 设计思路：在圆中利用同弧或等弧所对的圆周角相等，再利用两角分别相等的两个三角形相似，证明圆中的三角形相似；拓展与延伸中主要引导学生通过对图形的观察、分析，从较复杂的图形中分解出基本图形（找出相似三角形）.

练习：

1.如图,

△ABC是⊙O的内接三角形, D是弧AC的中点，BD交AC于点E.

(1)

△CDE与△BDC相似吗?为什么?

(2)若DE⋅DB=16，求DC的长. 解（1）BDC∽CDE

（2）

BDC∽CDED是弧AC的中点BDCD=ADCDCDDE2ACDDBC

BDDE=CD

又BDCD=16又D=DBDC∽CDECD2=16CD=4设计思路：进一步巩固在圆中利用同弧或等弧所对的圆周角相等，再利用“两角分别相等的两个三角形相似”，证明圆中的三角形相似.

知识点2：三角形的重心

思考与探索：在七年级，我们通过观察、操作，发现三角形的三条中线相交于一点，你能用相似三角形的有关知识证实这个结论吗？

AAB证明:如下图

CBC

△ABC的两条中线BE、CF交于点G

ABC的两条中线BD、CE交于点G设ABC的两条中线BD、AF交于点G'11DE∥BC，DE=BCDF∥AB，DF=AB22AFE∽ABC

CDF∽CAB

'DEDG1DFDG1====BCBG2ABBG'2BG=2DGBG'=2DG'BG=2DG ,BG'=2DG'G与G重合'

AEGBCBDADC

G'F证法2：也可以用面积法证．

假设中线CF与BE相交于G，延长AG与BC相交于D，可证△AFG、△BFG、△AGE、△CGE面积都相等，再证△BDG与△DCG面积相等（同底等高三角形），推出BD＝DC，即D是BC的中点．所以三角形三条中线交于一点.

设计思路：用同一法证明三角形三条中线交于一点，学生已不是第一次接触.在“八（上）勾股定理”一章中，证明勾股定理逆定理时，就应用了“同一法”的思想：先画出直角边长为a、b的RtA'B'C'，再证明它与已知三角形△ABC全等.像这样，要证明一个图形具有某种性质，先构造一个具有这种性质的图形，再证明它与已知图形是全等的，这也是证明几何问题的一种方法.

三角形重心的概念：三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心；

三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．

内心：三条内角平分线的交点外心：三边垂直平分线的交点

三角形的四心垂心：三条高的交点重心：三条中线的交点

练习

1.如果三角形的重心在它的一条高线上，则这个三角形一定是

（

）

A. 等腰三角形

B. 直角三角形

C. 等边三角形

D. 等腰直角三角形

解析：重心是三角形三条中线的交点，而重心又在三角形的高上，说明高与中线重合，而具备这一性质的图形是等腰三角形.所以选A

2.如图,在△ABC中,点O是重心,BC=10,连接AO并延长交BC于点D,连接BO并延长交AC于点E,AD⊥BE.若BE=2OD=6,AO=6,则AC的值为

(

)

A. 8

B. 410

C. 12

D. 14

解析：选B O是重心AD与BE是中线1BD=BC=52BE2OD6:又O是重心

AO=2OD=6，OD=3，BO=2OE=4BO2+OD2=BD2AOE=BOD=90oAE6222210AC410

3.如图,已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G，若BC=6cm，那么DE等于__________cm.

解析：DE=4 连接AG交BC于点MG是ABC的重心AG2AM3DE∥BC MADG∽ABMDGAG2

BMAM3GEAG2同理MCAM3DEAG2，且BC=6BCAM3DE=4设计思路：进一步巩固三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．并能运用其解答问题.

重心是物理学中的一个概念.物理学告诉我们：一个物体的各个部分都受到重力的作用，从效果看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这点叫做物体的重心.如果我们用一根手指顶在一块质地均匀的三角形薄板的重心处，这块薄板就能保持平衡.

课堂小结：

1.能利用相似三角形的判定条件结合圆的性质，在圆中判定两个三角相似；

2.经历“观察、操作—探索、猜想—推理”的活动过程，发展合情推理与演绎推理能力; 3.经历画三角形任意两条中线，测量交点与顶点的距离和交点到对边中点的距离，并计算二者的比值的过程，了解重心的概念，并会解决一些简单问题.

课后作业

一、选择题

1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，AD=5，BD=2，则DE的长为（

）

3412A.

B.

C.

D.

52525252.如图,AB为O的直径,C为O上一点,弦AD平分∠BAC,交BC于点E,AB=6,AD=5,则AE的长为(

)

A. 2.5

B. 2.8

C. 3

D. 3. 2 3.如图，O的弦AB、CD相交于点P，若AP=3，BP=4，CP=2，则CD长为（

）

A. 6

B. 12

C. 8

D.不能确定

第1题

第2题

第3题

4.三角形的重心是三角形的（

）

A. 三条中线的交点

B. 三条角平分线的交点

C. 三边垂直平分线的交点

D. 三条高所在直线的交点

5.在△ABC中,AD是BC边上的中线,G是重心.如果AG=6,那么线段DG的长为(

)

A. 2

B. 3

C. 6

D. 12 6.如图，△ABC的中线BE与CD交于点G，连结DE，下列结论正确的是（

）

A. 点G是△ABC的内心

B. BD=2CE

C. S△BGC=2S△DGE

D. S△BDG=S△CEG 二．填空题

7.如图，A. B. C. D是长____________. O上的四点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，求AB的8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AD=18,点E在AC上且CE=与AD相交于点F. 若BE=15，则△DBF的周长是____________. 1AC，连接BE，2

第5题

第6题

第7题

第8题

三．解答题

9.已知：直角梯形OABC中,BC∥OA,∠AOC=90∘，以AB为直径的圆M交OC于D. E，连接AD、BD、BE.

(1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图中的两对相似三角形. (2)给出其中一对相似三角形的证明.

10.如图，已知点G是△ABC的重心，AG⊥GC. （1）若AC=4cm，求BG的长；

（2）若△ABC的面积为9cm2，求△GBC的面积.