综合优质课一等奖

专题六

数学思想方法（二）

（方程思想、函数思想、数形结合思想）

阜宁县陈集中学 成梅

班级__________姓名__________学号__________ 【中考考点】

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．

【例题讲解】

考点一：方程思想

用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

例1

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．

（1）求证：∠B=∠D；

（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．

练习：

2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，

3≈1.73）

考点二：函数思想

函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

例2（2018•呼和浩特）某市计划在十二年内通过公租房建设，解决低收入人群的住房问题．已知前7年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x（第x年）的关系构成一次函数，（1≤x≤7且x为整数），且第一和第三年竣工投入使的公租房面积分别为237和百62万平方米；后5年每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x（第x年）1

的关系是y115x（7＜x≤12且x为整数）．

84（1）已知第6年竣工投入使用的公租房面积可解决20万人的住房问题，如果人均住房面积，最后一年要比第6年提高20%，那么最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决多少万人的住房问题？

（2）受物价上涨等因素的影响，已知这12年中，每年竣工投入使用的公租房的租金各不相同，且第一年，一年38元/m2，第二年，一年40元/m2，第三年，一年42元/m2，第四年，一年44元/m2……以此类推，分析说明每平方米的年租金和时间能否构成函数，如果能，直接写出函数解析式；

（3）在（2）的条件下，假设每年的公租房当年全部出租完，写出这12年中每年竣工投入使用的公租房的年租金W关于时间x的函数解析式，并求出W的最大值（单位：亿元）．如果在W取得最大值的这一年，老张租用了58m2的房子，计算老张这一年应交付的租金．

考点三：数形结合思想

数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

x2(x2)例3.若直线y＝m(m为常数)与函数y＝4图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范(x2)x围是

. 练习：1、如图，函数y1= k1与y2=k2x的图象相交于点A（1，2）和点B，

x当y1＜y2时，自变量x的取值范围是（

）

A．x＞1 B．-1＜x＜0 C．-1＜x＜0或x＞1 D．x＜-1或0＜x＜1

2、若m，n(n＜m)是关于x的一元二次方程1-（x-a）（x-b）=0的两个根，且b＜a，则m，n，b，

A．m＜a＜b＜n

B．a＜m＜n＜b

C．b＜n＜m＜a

D．n＜b＜a＜m

课后作业：

2

a的大小关系是

（

）

1．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是

（

）

A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2 2．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F则DF的长等于

．

（第1题）

（第2题）

（第3题）

3．如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，直径FG在AB上，若BG=2-1，则△ABC的周长为（

）

A．4+22

B．6 C．2+22

D．4 4．已知A（1，5），B（3，﹣1）两点，在x轴上取一点M，使AM﹣BM取得最大值时，则M的坐标为

．

5．如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，连接OB，OC，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，已知△ABC的周长为8，BC＝x，△AEF的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是

(

)

（第5题）

（第6题）

k6．如图，直线y＝3x－6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y＝(x>0)的图象上位于直x线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC·

BD＝43，则k的值为(

) A．－3

B．－4

C．－5

D．－6 7．某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）．

（1）从运输开始，每天运输的货物吨数n（单位：吨）与运输时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系式？

（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计3

划完成任务的天数．

8．如图，在平面直角坐标系中，双曲线

y（-3，2），BC⊥y轴于点C，且OC=6BC．

（1）求双曲线和直线的解析式；

（2）直接写出不等式m

和直线

y=kx+b 交于A，B两点，点A的坐标为xm＞kx+b的解集；

x（3）直接写出四边形AOBC的面积．

9．在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：

（1）写出A、B两地直接的距离；

（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；

（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围．

4