2.用含有字母的式子表示稍复杂的数量关系和公式教学设计和教学实录

钉子板上的多边形

——钉子数与多边形面积的关系邗江区实验小学刘玉教学目标:

1、使学生探索并发现钉子板上围城的多边形的面积,与围城的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系,并尝试用字母式子表示关系。2、使学生经历探索钉子板上围城的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程,体会规律的复杂性和全面性,体会归纳思维,体会用字母表示关系的简洁性,发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。

3、使学生获得探索规律成功的体验,树立学习数学的自信心,感受数学规律的奇妙,对数学产生好奇心,提高学习数学的兴趣和积极。

教学重点:探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。

教学难点:综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。

一、知识冲突导入,激发研究兴趣。

1、这是钉子板,可以在上面围各种各样的多边形,为了看得更清楚些,钉子板抽象为点子图,并做成PPT(出示点子图)。

2、请说出多边形的面积(出示①号多边形和表格;出示②号多边形,口答后出示数格子方法;出示③号多边形)

3、像这样不是基本形状的多边形可以用数格子的方法得出面积。

4、(③号图)为什么是这样的表情?

5、③号图不是基本形状,不可以直接用面积公式求面积,也不方便数格子。

其实有一种巧妙的方法可以解决这样的难题,想知道吗?

不告诉你,不过,老师可以陪大家一起来研究。

这就是今天我们要研究的内容“钉子板上的多边形”。

二、分层分组探索,逐步发现规律。

(一)a=1的规律。

1、读了这个课题,你猜一猜,多边形的面积可能与什么有关?

(钉子)对!(钉子的数量)

2、这些钉子在多边形的外面,叫多边形外部的钉子,它们与多边形面积有关吗? (无关)那就不研究(电脑隐去大点)这些钉子正好在多边形边上,叫多边形边上的钉子(电脑出示);还有钉子在多边形里面,叫多边形内部的钉子(电脑出示)

3、多边形的面积与它边上的钉子以及内部的钉子有关吗?如果有关系,是什么关系呢?这些光靠看是看不出来的,必须用数据来说话。

4、填表(电脑逐一出示边上的钉子数、内部的钉子数)

要求:先数面积,再数钉子数。

5、仔细观察表中数据,你有哪些发现?(出示板书)

生:①边上钉子数是面积的2倍,面积是边上钉子数的一半

②内部都是一个钉子。

③从而得出内部钉子一样,但面积却不一样,说明S与内部钉子无关)④边上钉子数越多,S越大。

6、师:从这3题我们发现了多边形的面积与它边上的钉子数有关(出示板书)什么关系?

如果用S表示多边形面积,n表示边上的钉子数,面积可以怎样表示?(板书) 7、这个结论仅仅是从3道题中概括的,可以说是一种猜想(板书:猜想)。是不是适合其它的图形呢?我们还要多举一些例子进行验证(板书:验证)。

8、出示验证题,图→面积→边上点子数(猜想),符合猜想吗?

9、师:基本图形适合猜想,不规则多边形也适合猜想,我们可以大胆地说S=n÷2是正确的,有效的!

10、有了这项本领高兴吗?下面请运用这个结论求多边形面积。

①(出示图与边上钉子数→求面积。)

②出示最后一题时,师:呀!这幅图被挡住了,不过知道了n=10,S=?师:确认吗?太简单了!出示原图。

③怎么不对呢?(生:内部有两个钉子了)

11、师:看来,多边形的面积除了与它边上的钉子数有关,也与它内部的钉子数有关。S=n÷2,这个结论只适合于a=1的情况,那么a=2时,S与n、a又有什么关系呢? (二)、研究a=2的规律。

1、要想研究这个问题,我们应该怎么办?(生:画图、举例子)

2、请同学们拿出研究单,每人画一个内部有两枚钉子的多边形,填好表格后小组内汇总,观察、研究(师巡视,采集相关数据)。

3、这是老师采集的数据,有什么发现?

预设1:(n+a)÷2=S,选两题验证,肯定其想法。

预设2:S=n÷2+1选两题验证,你们画的多边形,有不符合这个公式的吗?

预设3(学生找不到规律):师:a=2时,S肯定≠n÷2了,但是与n÷2一点关系都没有吗?引导看数据。

4、重点看3、4两幅图,它们有什么相同点?又有什么不同点?(边上钉子数一样,面积一样,形状不一样)

①师:再一次说明,多边形面积与其形状无关,与边上的钉子数有关!(补充板书)②你们画的多边形,有面积不符合这个公式的吗?(如果有,在展台上研究) (三)、研究a=3、a=4的规律

1、师:a=1,S= n÷2

a=2,S= n÷2+1

a=3呢?a=4呢?(生猜想,师板书)

2、师:这是大家的猜想,对不对呢?要验证,请一、二两组每人画一个内部是3枚钉子的多边形进行验证,三、四两组每人画一个内部是4枚钉子的多边形进行验证。

3、学生验证,自己验证好后再验证同桌的。

4、汇报并验证。

5、师:如果a=5呢?a=50呢?a=100呢?写得完吗?谁能概括一下?S= n÷2+(a-1)

6、a=1,适合这个公式吗?适合,S= n÷2+(1-1)

只不过加的是0,就没有出现。

7、如果a=0,像这样的图形(电脑出示),能用这个公式吗?

验证:4÷2+(0-1)=2+0-1=1。(适合!)

(四)、总结S=n÷2+(a-1)的规律。

师:一句话,钉子板上多边形的面积可以用边上的钉子数÷2加上内部的钉子数减1得到。

这个规律早在1899年就被人发现并进行了证明,谁这么厉害呢?他说是善于观察、善于研究的奥地利数学家乔治·皮克,所以这个规律又“皮克定理”。

三、回顾探索过程,交流体会收获。

1、通过今天的学习,你有什么收获?

预设1:S=n÷2+1

2、这个规律我们是怎样一步步发现的?

画图→观察→数据→猜想→画图验证

师:探索规律时,我们要仔细观察、反复比较,大胆猜想,并且及时验证,相信大家会越来越棒的!