[图形演示]心形线的一种生成过程优质课教案推荐

人教B版

高中数学选修4-4

第一章

坐标系

授课教师：齐航

《[图形演示]心形线的一种生成方式》教学设计

课型

新授课

课时

1课时

教学对象

一、

教材分析

大自然中有很多漂亮美妙的图形，人类在生活生产与科学研究中又创造了不少奇特的曲线。在平面直角坐标系中，有的曲线不便于解析表达，研究起来颇有难度，如何用代数方法来描述与定量研讨这些形形色色的曲线，如何选择坐标系就显得至关重要。普通高中课程标准实验教科书人教B版数学选修4-4第一章介绍了极坐标系、平面直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等满足不同研究需要的坐标系，为探究曲线性质提供了基础。

常见曲线的极坐标方程是选修4-4第一章阅读与思考的内容，是在学生已经了解了坐标系的作用，学习了极坐标系的定义，掌握了平面直角坐标系中的伸缩变换等知识的前提下，运用极坐标方程，给出阿基米德螺线、心形线、双纽线的定义及其简单几何性质。《[图形演示]心形线的一种生成方式》背后的数学文化源于法国数学家笛卡尔的一段爱情故事，课堂上通过生活实例、学生之间相互讨论进行探究，在老师的引导下自主推导出心形线极坐标方程，本章阅读与思考的内容还有助于培养学生的数学素养，了解数学文化和历史，提高学习数学的热情和兴趣。也是高等数学中进一步研究相关知识的有效衔接。

高二年级

二、学情分析

通过对极坐标系相关知识的学习，学生已经对极坐标系有了一定的了解。但对于生活生产和科学研究中存在的种种美丽曲线，由于其方程研究难度大，课堂容量小，学生知之甚少。近年来图形计算器等信息技术开始进入课堂辅助教学，并发挥出积极作用，很多学生从高一就开始接触图形计算器，并表现出极大兴趣，目前已经掌握其基本操作，本节课可以使用图形计算器让学生自主探究极坐标系方程下心形线的图象。

三、教学目标

依据教学大纲的要求，渗透新课标理念，并结合以上的学情分析，我制定了如下的教学目标。

1.知识与技能：

（1）通过Geogebra展示动点的轨迹，知道心形线的一种生成过程；

（2）通过描点法作图和图形计算器作图，认识心形线的形状，并感受信息技术的便捷；

（3）通过推导心形线的一种极坐标方程，感受求轨迹方程中“相关点法”的应用。

2.过程与方法：

通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法；通过探究活动培养学生合作、观察、

分析、比较和归纳能力.

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坐标系

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3.情感、态度与价值观：

（1）通过ACE课堂模式，培养学生主动探索精神、合作交流意识，提高学习兴趣，激发求知欲；

（2）通过数学家的浪漫故事引入，提升学生的学习兴趣，了解其他心形线的方程与形状，知道心形线在生活中的应用，感受数学的神奇与美妙。

四、教学重难点



教学重点：了解心形线的一种生成过程



教学难点：推导心形线的极坐标方程

五、信息技术融合

Geogebra软件、UMU学***台

六、教法学法

在教法上，通过数学家浪漫的爱情故事引入，经历设问、启发、当堂训练的教学程序，采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式，培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力，借助Geogebra软件、UMU学***台的辅助教学，动态生成心形线，达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学氛围。

在学法上，为了调动学生积极思考，增加双边活动的时间和空间。本节课采用学生主讲、教师点评的授课方式，课堂上学生利用手机中的图形计算器软件做图，发现更多的心形线的形状，充分发挥学生主观能动性，开放学生思维，从而培养学生的知识迁移，强化学生的学科素养。

七、教学过程

教学过程

（一）

情景导入

故事设疑

由百岁山广告导入

教学内容

设计意图

信息技术应用

由《数学的故事》引入，激起学生的兴趣，为什么公主看到广告视频

讲述法国数学家笛卡尔和瑞典公主的浪漫爱情故事：笛卡尔于1596年出生在法国，欧洲大陆爆发黑死病时他流浪到瑞典，1649年，斯德哥尔摩的街头，52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。几天后，他意外的接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，笛卡尔向她介绍了自己研究的新领域--直角坐标系。每天形影不离这个方程后开故事视频

心极了呢？进而引出本节课所学——心形线

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坐标系

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的相处使他们彼此产生爱慕之心，公主的父亲国王知道了后勃然大怒，下令将笛卡尔处死，在公主克里斯汀苦苦哀求后，国王将其流放回法国，克里斯汀公主也被父亲软禁起来。

笛卡尔回法国后不久便染上重病，他日日给公主写信，因被国王拦截，克里斯汀一直没收到笛卡尔的信。笛卡尔在给克里斯汀寄出第十三封信后就气绝身亡了，这第十三封信内容只有短短的一个公式：a1cos。

国王看不懂，将全城的数学家召集到皇宫，但没有一个人能解开，他不忍心看着心爱的女儿整日闷闷不乐，就把这封信交给一直闷闷不乐的克里斯汀。

公主看到后，立即明了恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来，看到图形，她开心极了，她知道恋人仍然爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状。

这也就是著名的“心形线”。

国王死后，克里斯汀登基，立即派人在欧洲四处寻找心上人，无奈斯人已故，先她一步走了，徒留她孤零零在人间... 据说这封享誉世界的另类情书还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里。

（二）

学生在学案上的坐标纸中描点画出方程1cos的曲动手作图认识曲线

线，并归纳其性质：关于极轴对称

通过直观想象，操作确认得到方程的大致形状。解答疑惑，公主为何开心。

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坐标系

授课教师：齐航

（二）

学生通过描点画出的曲线形状并不准确，所以接下来采用手手机作图

生成曲线

机软件Geogebra输入方程1-cos，这样就可以得到一条准

确的曲线。

通过从一般到手机

但这只令a1时的特殊情况，于是引发思考参数的变化对曲线的形状有怎样的影响呢？此时老师利用Geogebra网页版给大家展示。

特殊的思想，数Geogebra形结合，验证心软件

形线的形状。

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（三）

合作探究推导方程

学生分组讨论，推导心形线的极坐标方程

学生小组讨论，A层同学发挥作用，为C层同学讲解。

Geogebra网页版



高效展示

选一名同学进行书面展示。



精彩点评

从其他小组选一名代表进行点评，解题思路及数学思想。

（四）

介绍心形线的另外一种生成方式

拓展延伸——

心形线的生成方式

了解心形线的其他生成方式

Flash动画

Geogebra

（五）

拓展延伸——

心形线的其他方程及形状

自心形线诞生以来，数学爱好者们便对这个曲线十分好奇，他们想探索出更加像心形的曲线。下面同学们分组在Geogebra软件中输入方程

通过手机图形计算器作图，让学生感受到信息技术的先进，为数学学习带来的便利。同时增加学生对数学的兴趣。

Geogebra

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坐标系

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观察曲线的形状

（五）

拓展延伸——

心形线的应用

心形线应用于麦克风，手机等，生活中大部分的麦克风都是让学生了解

单向麦克风，也叫“心形麦克风”，因为它的灵敏范围是心形的。

心形线在生活中的应用，感受数学与生活息息相关。

（六）

在课堂小结环节，测试了2016年上海卷的高考题，学生答完后课堂小结

布置作业

通过扫描屏幕上的二维码提交答案，通过UMU软件可以实时统计出正确率。

通过这道高考真题考察学生本节课所掌握的情况，通过带点排除选出答案。

应用UMU学***台，UMU学***台

可以实时了解学生的作答情况和正确率。

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坐标系

授课教师：齐航

在合作与探究中不仅学会知识，还应懂得分享知识，分享

收获。并在研究最后，学生分享小组合作心得和探究活动过程中的感受，教过程中学会发师指出图形计算器辅助教学的利弊，强调学生应该强化自己的作图能力。（根据课堂学生回答的实际情况，总结如下）

团队合作精神深入人心，有分工、有合作，完成了单打独斗不可能完成的任务，

图形计算器功能强大，所能完成的远远超出我们的想象。但考试时不能用，所以平时要重视作图。

布置作业

利用本节课所学推导心形线的参数方程。

（六）

教师反思：本节课利用手机图形计算器辅助课堂教学，完成通过师生共师生反思

使得本教学相长

了平时在课堂上需要花费大量时间和精力才能完成的内容，降低同反思，了教学难度，高效完成了教学任务。虽然是阅读材料，但里面的节课有了更大内容不仅增长了学生的见识，拓宽了他们的眼界，而且培养了学生的数学素养，提高学习数学的兴趣和热情，使他们了解数学文化，感受数学的美。

存在的问题和困惑有：

①由于课堂40分钟时间的限制，小组讨论与探究不能充分开展，部分学生意犹未尽。

②阅读材料中的其他几种曲线：阿基米德螺线、双纽线没有时间探究，课时明显不够。

③探究课堂与常规课堂课时的分配上存在矛盾。为了抓学生的高考成绩，只能扼杀学生对探究领域的热情。

学生体会：

①数学课堂通常是被认为比较枯燥、缺乏生动和激情，因此，的提升空间。学生也对数学更感兴趣。

现问题。

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坐标系

授课教师：齐航

努力创建既宽松、富有人情味又便于学生善于思考、乐于探究的教学环境尤为重要。

在课堂学习活动中养成小组合作的意识，有助于用“我们自己的方式和语言”学习数学。

图形计算器在课堂上发挥出其不可忽视的作用，功能强大。

摘抄几段学生的话：

吴庆仁：我们了解到图形计算器强大的绘图功能，它可以快速且精确地画出很多函数图象，节约时间，而且图象很优美。

陈再冲：小组合作探究让我觉得特别快乐，时间也好像过的特别快，正所谓“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，在一个团队里，独来独往并不会有太大收获，遇到困难也会束手无策。但当一个小组团结起来，面对任何困难，都会有办法解决。

郭智文：以前就见过心形线的图形，但是今天认识到了什么多的心形曲线，还看到了“心碎”的图象，相比最初我只认识指对幂函数的图象，以前真是太孤陋寡闻啦！心形线的方程这个简简单单的式子背后竟存在那么多花样，感觉数学不再是枯燥乏味的学科了。

陈彤：我深刻的体会到了科技与数学的美妙，以及自身知识的匮乏。世界这么大，还有无数未知的领域等着我们去探索、去发现。

于晶：以前问我数学是什么？我会说：“一堆复杂的公式，一些难懂的定律，还有一些过气的数学家”。但是现在，又有谁能想到数学也可能是一段经历，一次心动，一份感情。笛卡尔的心形线真的时太浪漫了！