2.2.1 直线的参数方程PPT配套优秀教学设计内容

基本不等式的应用

1.综述

1.高考定位

高考对基本不等式内容的考查主要有:理解基本不等式

在不等式证明、函数最值求解方面的重要应用。试题类型可能是填空题,同时在解答题中经常与涵数、实际应用题综合考查,构成中高档题。通过不数式的基本知识、基本方法在三角函数、数列、复数，立体几何、解析几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融会贯通,从而提高学生分析问题、解决问题的能力。在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生的数学素质及创新意识

2.应考策略

掌握高考考查基本不等式的常见题型,主要有以下四个方面:一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值,或积的最大值,或者将一个式子转化为可以用基本不等式求最值的问题;二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法)等;三是利用基本不等式构造不等式;四是将一个实际问题构造成函数模型,利用基本不等式解决。掌握利用基本不等式求最值时,要满足的三个条件,即一正，二定,三相等,而且求解时要逐一检验。

3.知识解读

从知识的本质角度看。首先基本不等式是通过"x20"这个基本的数量不等式对x进行替换得到；其次,反映了算术平均数与几何平均数之间的一；种不等量关系;再次,基本不等式有很好的几何意义,用它

可以很好地解决实际生活中的一些最大值与最小值问题。因此,基本不等式的内容对学生厘清数学知识内部联系与解决实际问题很有好处

从知识的作用角度看。首先,由基本不等式可以推出许多重要的不等式,例如:当a>0,b>0时,有ab211ab,a1ba2，2等，;其次,aab基本不等式是研究其他不等式的重要基础;再次,证明基本不等式的方法是证明不等式的基本方法之一。因此,基本不等式本身及其证明方法为学生的后续学习莫定了基础。

从学生应用的角度看。学习和应用基本不等式有利于学生观察、分析、抽象、概括、归纳、总结等能力的培养,有利于学生对数学知识的整合,如:几何与代数的整合,信息技术与数学的整合等。

4常用变式

(ab)2ab2ab两边同加ab2(ab)(ab)ab2222222222b2

两边同除以a,ab2ab2ba(a0)；

a22a2两边同除以b, ab2ab2ab(b0)；

b22abbaabab(a0,b0).

用a,b代替a,b,a2b22ab2两边同除以ab, a2b22ab2(ab0)

5应用方式

“应用基本不等式求最值”问题需要适当的情境，观察、分析、确定问题中的五个方面:最值的类型、运算的方式、数量的形式、数

量的条件、数量的关系,之后才能规范、合理、正确地应用“基本不等式”解决相应的问题,即直接规范正确使用,间接变形合理使用,构造关系变式使用。

利用基本不等式xyxy.时,要注意“正、定等”三要素,正,即2x,y都是正数;定,即不等式另一边为定值;等,即当且仅当x=y时取等号。利用基本不等式xyxy.时,要注意“积定和最大,和定积最小”2这一口诀,并且适当运用拆、拼、凑等技巧。特别应该注意,一般不要出现两次不等号,若出现,则要看两次等号成立的条件是否同时成立。

2问题精解

2.1利用基本不等式求最值

要点:应用基本不等式求和的最小值或积的最大值;构造基本不等式满足的条件求最值。

2.1.1运用换元变换,简化条件关系

例1求函数yx2思路探求4的最小值

x23:如果利用基本不等式yx244422(x3)3431x3，发现

222x3x3x3即x232不成立,故不能直接运用基本不等式求解。

解法1:如果解题时无法满足直接应用基本不等式求最值的条件,可以通过换元,转化为相应的函数的最值。可以设tx23(t3),将44yt3,t3,的最小的最小值问题转化为“求函数tx234值”。而函数yt3,在t∈[3,十∞)内是单调递增函数,故当t=3时,t44函数yt3取得最小值

t3“x2

方法点睛:基本不等式在求函数最值时具有重要价值,要注意构造应用基本不等式求最值的条件,同时要特别注意基本不等式应用的条件是否具备,特别是等号能否取到,在条件不满足的情况下是否能够求

解或者转化。若等号取不到,要考虑借助函数图像,利用函数单调性求解最值。

2.1.2选择消元变形,构造数量关系

例2若正数a,b满足1,求的值

解法1:已知条件从形式上认为是两项之和,问题的类型是求最小值,所以根据基本不等式的结构特点,需要寻找乘积是定值的条件。将1114141,变形为(a-1)(b-1)=1,故24当且仅当aba1b1a1b11a1b14的最小值,并求此时a,ba1b11432时,等号成立,此时a,b3.

a1b1214故的最小值是4 a1b1解法2:用基本不等式求最值的题目很多是以双变元条件下的最值的形式呈现的,采用消元将问题转化为单变量问题。在此基础上,或直接求最值,或换故元法后求最值,都可以将难度有效降低。由1,b144故b>1因此=（b-1）+≥4,当且仅当b1a1b1b1314b-1=2时,等号成立,此时a,b3.故的最小值是4 2a1b111解法3:由条件1,的形式联想到三角换元ab1a1b可以得到a1114sin24cos2令a,b4

代入从而有2222a1b1sincoscossin21sin24cos222sin,cos,当且仅当2时等号成立,此时,即33cossin2

a=,b=3,故3214的最小值是4 a1b1方法点睛:根据已知的条件形式,合理地选择方法,简洁准确地求解,是解决问题的重点和目标,需要总结、反思和积累

2.1.3分析最值类型,转化结构关系

例3设x,y为实数,若4x2y2xy1,,则2x+y的最大值

解法1:问题的运算从形式上理解是两项的和，类型是求最大值,所以根据基本不等式的结构特点，可以转化为两项积的最大值问题。

由(2xy)24x24xyy213xy，只要求xy的最大值即可

而14x2y2xy4xyxy5xy,故xy的最大值是, 所以(2xy)2,即2xy当2xy8515210

5210210时,等号成立。所以2x+y的最大值是

105解法2:如果引入目标变量,令2x+y=t,从解关于x,y的二元方程组2xyt角度理解,转化为求t的取值范围,使得x,y的方程组22有4xyxy1解,消去y,得到关于x的一元二次方程6x23txt210有解,由判别式9t224(t21)0构造目标变量的不等式,可以解得2101010,y。此时x

51055838210210t55所以2x+y的最大值是解法3.利用配方变形得到4x2y2xy(2xy)2(2xy)21，故有(2xy)2(2xy)2，由2xy20,可知(2xy)2，当2x-y=0 时等号成立，所以2x+y的最大值是210。

5853585

方法点睛:总的来说,条件不等式求最值,消元法证明比凑项法简洁,而且消元法可以解决中学所涉及的多数条件不等式求最值问题

2.2基本不等式在实际问题中的应用

要点:构造函数模型,利用基本不等式求实际问题中的最值问题。

例4如图1,有一块边长为1（hm)的正方形区域ABCD在点A 处有一个可转动的探照灯,其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P,Q 分别在边BC,CD上),设PAB,tant。(I)用t表示PQ的长度,并Q 探求△CPQ的周长l是否为定值。

(Ⅱ)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的

面积S至少为多少(hm2)? 思路探求:将实际问题转化为数学问题,再求

最值

A C P D B 解:(I)BP=t,CP=1-t,0≤t≤1.DAQ45,DQtan(45)1t,

1t1t2t2t21t2222CQ1.所以PQCPCQ(1t)(, )1t1t1t1t2t1t2故l=CP+CQ+PQ=1-t+CQ=1-t+1+t=2所以周长l为定值。

1t1t(Ⅱ)SS正方形ABCD-SABP-SADQ1-当且仅当t=√2-1时,等号成立。

t211t122(t1)22

21t2t1所以探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为2-2(hm2)。

方法点睛:实际应用题的解题步骤一般分为两步,第一步将实际问题转化为数学问题;第二步求最值,最值问题的求解一般有基本不等式法和导数法。应用基本不等式求最值时一定要注意检验条件是否具备。

2.3基本不等式与其他知识的综合应用

要点:(1)基本不等式与函数、方程的综合;(2)基本不等式与解三角形的综合;(3)基本不等式与解析几何等其他知识的综合应用。

例5已知函数f(x)(x0)。

(I)判断f(x)在区间(0,+∞)内的增减性,并证明你的结论; (Ⅱ)解关于x的不等式f(x)>0; (Ⅲ)若f(x)+2x≥0在区间(0,+∞)内恒成立,求a的取值范围。

思路探求:(1)利用定义判断函数的单调性;(2)利用分类讨论的方法解含参数的不等式;(3)利用分离参数的方法解不等式恒成立问题。

解:(I)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1

x1x21a2x所以x2x10,从而故f(x)在区间(0,+∞)内单调递减。

(Ⅱ)由0(x0)得1a2x2ax0

ax当a>0时,解得00。

综上,当a>0时,不等式的解集为x0x2a; 当a<0时,不等式的解集为{x|x>0}。

(Ⅲ)因为f(x)+2x≥0(x>0),即2x2x1，要满足此不等式恒成立只需a12222x大于或等于即可。而2x22x4，当且仅当x=1axxxmin时,等号成立。所以4≥解得a<0或a≥

方法点睛:以函数、方程、解三角形、解析几何等知识为载体考查基1a14

本不等式求最值,是本部分内容中的常见题型。其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式,同时要注意基本不等

式的使用条件。

3两点说明

3.1两次应用基本不等式时要检验两次等号能否同时取到

例6若点(1,-2)在直线ax-by-2=0(a>0b>0)上,则的最小值为

思路探求:因为点(1,-2)在直线ax-by-2=0(a>0,b>0)上。所以a+2b-2=0(a>0,b>0),即b1(a0,b0)。

所以()(b)当且仅当baa21a1b1a1b1a1ab232baa31322。

2b222a即a222,b22时,等号成立。

2b113即+的最小值为2。

ab2方法点睛:一般地,不宜同时应用两次基本不等式,原因是两次应用基本不等式时,容易遗忘两次的等号能否同时成立。事实上,两次等号成立的条件不同,即最后的等号取不到。如本题容易出现下面的错

误解法:因为a+2b-2=0,a>0,b>0,所以a2b222ab,(a0,b0)，即ab111111，所以222即+的最小值为22因为两次等号2ababab不能同时成立，故最小值22取不到。

3.2要有应用基本不等式求中间变量范围的意识

例7已知二次函数f(x)ax2xc(xR)的值域为[0,+∞),则的最小值为

思路探求:因为二次函数f(x)ax2xc(xR)的值域为[0,+∞),所以有

c2a2ac

a01

14ac0ac4又c2a2c22ca22a(ac)22(ac)2ac14(ac)22(ac)acacac2令act2ac1则原式4(t22t),在t∈[1,+∞)内单调递增,所以当t=1时,取得最小值10。

方法点睛:本题易错点是换元之后,不能准确给出新元的范围,没有利用基本不等式求出t的范围,也就是对基本不等式缺少应用意识,从而容易出现下面的错误答案,原式t22t利用二次函数的图像可知当t=-1时,取得最小值一6。所以学生要养成换元之后，立即给出新元取值范围的习惯。

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