5.5 用二次函数解决问题优秀教学设计范文

二次函数应用问题

例题1 小华的爸爸在国际商贸城开专卖店专销某种品牌的计算器，进价12元∕只，售价20元∕只．为了促销，专卖店决定凡是买10只以上的，每多买一只，售价就降低0.10元，但是最低价为16元∕只．

（1）顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买？

（2）写出当一次购买x只时（x＞10），利润y（元）与购买量x（只）之间的函数关系式．

（3）星期天，小华来到专卖店勤工俭学，上午做成了两笔生意，一是向顾客甲卖了46只，二是向顾客乙卖了50只，记账时小华发现卖50只反而比卖46只赚的钱少．为了使每次卖得越多赚钱越多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元∕只至少要提高到多少？为什么？

练习1：某城市香菇上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存90天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．

（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．

（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额-收购成本-各种费用）

（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？

分析：

1

例题2某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？

（3）如何定价才能使总利润不少于4000元？

y(件)

400 300 Ｏ

60 70 x(元)

例3.

为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低且Z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．

（1）在政府未出台补贴措施前，该商z(元) y(台) 200 场销售彩电的总收益额为多少元？

160 1200 （2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电800 的收益Z与政府补贴款额x之间的函200 x(元) 数关系式；

0 400 0 x(元) 图①

图②

（3）要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值．

2

二次函数最值问题

1．

已知0≤x≤1，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是（

）

2A

-10.5

B.2

C . -2.5

D. -6 2．当－2≤x≤l时，二次函数

y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（

）

A、- 77

B、

3或-3

C、

2或-3

D2或-3或-

443.如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是

4. 如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BO？

（2）设△AQP的面积为S，

①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

3

1525．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，22m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

4

【典型例题】：（2017贵州安顺）如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．

5

【典型例题】：（2017.湖南怀化）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；

（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；

（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．

6

(1)设需要购买x只，

则20−0.1(x−10)=16，

得x=50，

故一次至少要购买50只；

(2)当10

即y=−0.1x2+9x，

当x>50时,y=(16−12)x，即y=4x；

(3)当0

当x=b=45时，y有最大值202.5元；

2a此时售价为20−0.1×(45−10)=16.5(元)，

当45

∴最低价至少要提高到16.5元/只。

（1）由题意y与x之间的函数关系式为y=（10+0.5x）（2000-6x），

=-3x2+940x+20000（1≤x≤90，且x为整数）；

（2）由题意得：

-3x2+940x+20000-10×2000-340x=22500 解方程得：x1=50，x2=150（不合题意，舍去）

李经理想获得利润22500元需将这批香菇存放50天后出售；

（3）设利润为w，由题意得

w=-3x2+940x+20000-10×2000-340x=-3（x-100）2+30000 ∵a=-3<0，∴抛物线开口方向向下，在1≤x≤90时w随x的增大而增大

∴x=90时，w=29700 最大∴存放90天后出售这批香菇可获得最大利润29700元

7

（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，

∵函数图象经过点（60，40）和（70，30），

∴60kb400k10 解得：

70kb300b1000故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+1000 （2）由题意可得出：

P=（x-50）（-10x+1000）=-10x2+1500x-50000，

自变量取值范围：50≤x≤70． ∵-b150075，a=-10<0．

2a20∴函数P=-10x2+1500x-50000图象开口向下，对称轴是直线x=75． ∵50≤x≤70，此时y随x的增大而增大，∴当x=70时，P（3）由p≥4000，

当P=4000时，4000=-10x2+1500x-50000，解得：x1=60，x2=90，

∵a=-10<0，∴得60≤x≤90，又50≤x≤70；

故60≤x≤70．

(1)该商场销售家电的总收益为800×200=160000(元)；

(2)根据题意设y=k1x+800, Z=k2x+200

∴400k1+800=1200,200k2+200=160

解得k1=1,k2=−15，

∴y=x+800,Z=−15x+200；

(3)W=yZ=(x+800)⋅(−15x+200)=−15x+40x+160000=−15(x−100)+162000.

∵a=−15<0，抛物线开口向下∴W有最大值。

当x=100时，W最大=162000

∴政府应将每台补贴款额x定为100元，总收益有最大值

其最大值为162000元。

8

22最大值=6000．

答案：12

9.

较难 如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BO？

（2）设△AQP的面积为S，

①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，

∴AB===10．

如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t．

∵PQ∥BO，∴，即，解得t=，

9

∴当t=秒时，PQ∥BO．

（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．

①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，

∴，即，解得PD=6﹣t．

S=AQ•PD=•2t•（6﹣t）=6t﹣t2=﹣（t﹣）2+5，

∴S与t之间的函数关系式为：S=﹣（t﹣）2+5（0＜t＜当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）．

解：（1）∵B（4，m）在直线线y=x+2上，

∴m=4+2=6，∴B（4，6），

∵A（），

15，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，

22∴511=（）2

a+b+6，

6=16a+4b+6

222解得a=2，b=-8 ∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+6．

（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2-8n+6），

∴PC=（n+2）-（2n2-8n+6），

=-2n2+9n-4，

=-2（n-9249）+，

48949时，线段PC最大且为

48∵PC＞0，∴当n=（3）∵△PAC为直角三角形，

i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．

由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；

10

ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．

如答图3-1，过点A（1515，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=

2222过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，

∴MN=AN=55，∴OM=ON+MN=+=3，

22∴M（3，0）．

设直线AM的解析式为：y=kx+b，

则：15k+b=

，3k+b=0，解得k=-1，b=3 22∴直线AM的解析式为：y=-x+3 ①

又抛物线的解析式为：y=2x2-8x+6 ②

联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）

∴C（3，0），即点C、M重合．

当x=3时，y=x+2=5，

∴P1（3，5）；

1

2

iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．

∵y=2x2-8x+6=2（x-2）2-2，

∴抛物线的对称轴为直线x=2．

如答图3-2，作点A（15，）关于对称轴x=2的对称点C，

2211

则点C在抛物线上，且C（75，）

22当x=711时，y=x+2=，

22711，）．

22711，）均在线段AB上，

22711，）。

22∴P2（∵点P1（3，5）、P2（∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（

【典型例题】：（2017.湖南怀化）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；

（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；

（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．

12

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）根据待定系数法直接抛物线解析式；

（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；

（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；

（4）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．

【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上，

∴∴，

，

∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，

（2）如图1，令x=0，则y=﹣5，

∴C（0，﹣5），

∴OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∴AB=6，BC=5，

或，

要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有①当CD=AB=6，

∴D（0，1），

13

时，

②当∴∴CD=时，

，

，

），

）；

∴D（0，即：D的坐标为（0，1）或（0，

（3）设H（t，t2﹣4t﹣5），

∵CE∥x轴，

∴点E的纵坐标为﹣5，

∵E在抛物线上，

∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，

∴E（4，﹣5），

∴CE=4，

∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴直线BC的解析式为y=x﹣5，

∴F（t，t﹣5），

∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+∵CE∥x轴，HF∥y轴，

∴CE⊥HF，

∴S四边形CHEF=CE•HF=﹣2（t﹣）2+当t=时，四边形CHEF的面积最大为

（4）如图2，∵K为抛物线的顶点，

∴K（2，﹣9），

∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），

∵M（4，m）在抛物线上，

∴M（4，﹣5），

14

，

，

．

∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），

∴直线K'M'的解析式为y=x﹣∴P（，0），Q（0，﹣）．

，

考点5：函数最值问题

【典型例题】：（2017贵州安顺）如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等15

腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；

（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．

【解答】解：

（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，

∴B（3，0），C（0，3），

把B、C坐标代入抛物线解析式可得∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），

设M（2，t），且C（0，3），

∴MC==，MP=|t+1|，PC==2，

，解得，

∵△CPM为等腰三角形，

16

∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，

①当MC=MP时，则有②当MC=PC时，则有此时M（2，7）；

③当MP=PC时，则有|t+1|=2﹣1+2）或（2，﹣1﹣2，解得t=﹣1+2）；

）或t=﹣1﹣2，此时M（2，=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；

=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2或（2，﹣1﹣2）；

（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，

设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），

∵0＜x＜3，

∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，

∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，

∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），

即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．

【变式训练】：

（2017毕节）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

17

（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．

18