解决问题名师教学视频（文字实录）

二、探究新知，解决问题

1、实践操作

师：我们一起把目光聚焦在这两个雕窗上。课件出示

师：这两种雕窗的图形设计有什么联系和区别？

预设：

左边的雕窗外面是方的，里面是圆的；右边的雕窗外面是圆的，里面是方的。

师：我们把外面方里面圆的这种设计称为外方内圆，相反，外面圆里面方的设计可以称为 （外圆内方）。师及时表扬：真聪明，一学就会。

师：这两种设计有什么共同的地方？

预设：都是由圆和正方形两个图形组合成的。

师：你能用学具组合出这两个图形吗？

学生操作，展示作品在黑板上。

（1） （2）

【设计意图：动手操作的过程是从实物中抽象出图形的过程，使学生充分体会图形的组合与位置关系，理解组合图形面积的产生。与此同时，激发了原有的关于组合图形的认识，找到了新知的生长点。】

2、解决问题

（1）阅读和理解

师：怎样计算正方形和圆之间部分的面积？需要什么信息？先想一想，再与同桌交流。

预设1：图（1）：正方形的面积－圆的面积=正方形和圆之间部分的面积

图（2）：圆的面积－正方形的面积=圆和正方形之间部分的面积

预设2：需要知道圆的半径和正方形的边长。

根据学生回答相机出示板书

师：如果只告诉你这两个圆的半径是1米，你能计算出这两部分的面积吗？

学生思考，尝试练习，有问题可以同桌商量

（两个小组（同桌2人为一组）分别上黑板计算）

（2）分析与解答

师：我们先来交流左图中正方形和圆之间的面积

此环节采用生生互动式交流，由板演学生当小老师，下面学生向他们提问。

2×2＝4（m2）

3.14×1×1＝3.14（m2）

4－3.14＝0.86（m2）

小师：有什么问题要问吗？

生：4和3.14分别是求到了什么？

小师：用2×2＝4（m2）求到了正方形的面积，3.14×1×1＝3.14（m2）求到了圆的面积。

生：你是怎么知道正方形的边长？

小师：正方形里面画最大的圆，正方形的边长＝圆的直径

师：你们听懂小老师的解释吗？再请一两生学生说，师再相机用课件演示。

师：外方内圆两个图形之间面积是0.86m2，外圆内方两图形之间的面积又是多少呢，2组同学，该你们了当小老师了。

3.14×1²＝3.14（m²）

（

×2×1）×2＝2（m²）

3.14－2＝1.14（m²）

小师：你们有什么问题吗？

生：正方形的边长不知道，你怎么计算正方形的面积呢？

小师：正方形的边长不知道，所以不能用边长×边长求出正方形的面积，我们可以把正方形分割成两个三角形。

生：三角形的底和高又分别是多少啊？

小师：三角形的底是圆的直径，等于2cm，三角形的高是圆的半径1cm。所以用（

×2×1）×2＝2（m²）求到两个三角形的面积，也就是正方形的面积。

学生掌声自觉响起来

师：你看同学们都为你的精彩解说而祝贺呢。

师：谁听懂了小老师的意思？

两生重复说思路

师相机课件演示

师：还有不同的想法吗？

预设生：我是把正方形分割成四个三角形，底和高分别是1m,用1×1÷2×4＝2（m2）求到正方形的面积。再用3.14－2＝1.14（m2）求出圆和正方形之间的面积。

师：瞧，思路多清晰啊，把正方形面积转化成四个相等的三角形面积来算，转化可是数学中常用的一种数学方法。

师：同学们，当我们遇到学习困难的时候，换个角度去思考问题，会有“山重水覆疑无路，柳暗花明又一村”之感。

（掌声欢送两个小组的同学回位）

全班修正自己的错误

【设计意图：让学生经历观察思考，分析推理等学习活动，得出公共边以及图形各要素之间的关系，自主地运用已有的知识达成问题的解决。教学过程中，注重

把时间和空间还给学生，通过生生互动中的提问设问，自主探索，利用转化思想引导学生解决问题的过程中寻求不同的思考角度，能培养学生综合应用知识解决实际问题的能力。】

（3）回顾反思，理解算法

师：刚才我们通过计算知道当半径等于1时，外方内圆的面积相差0.86，外圆内方的面积相差1.14，那么任意大小的圆与这样的正方形之间的面积是不是也存在着一定的关系呢？你还可以假设圆的半径是多少？

预设：假设半径是2、3、4……

师：好，假设一个你喜欢的数据，计算出正方形与圆之间的面积

学生独立计算，师巡视发现

汇报展示学生作品

外方内圆的面积：r=2时：4×4－3.14×2×2＝3.44 r=3时：6×6－3.14×3×3＝7.74 r=10时：20×20－3.14×10×10＝86 r=100时：200×200－3.14×100×100＝8600

外圆内方的面积：r=2时：3.14×2×2－4×2÷2×2＝4.56 r=3时：3.14×3×3－6×3÷2×2＝10.26 r=10时：3.14×10×10－20×10÷2×2＝114 r=100时：3.14×100×100－200×100÷2×2＝11400 师：观察黑板上的算式，算一算，比一比，圆与正方形之间的面积变化跟谁有关系？面积变化有什么规律？面积变化中有没有不变的关系呢？

小组同学讨论一下

预设1：半径扩大10倍，圆与正方形之间的面积扩大10的平方倍。

预设2：半径扩大几倍，圆与正方形之间的面积扩大几的平方倍

预设3：圆与正方形之间的面积跟半径的平方有一定的关系。结合数据说明，半径分别为1、10、100时，面积分别是0.86、86、8600。

师：同学们对圆与正方形之间的面积中的不变关系有感觉了，是不是象大家发现的一样呢，我们可以假设两个圆的半径是r 图（1）：

（2r）²－3.14×r²＝0.86r²

图（1）：3.14×r²－（

×2r×r）×2＝1.14r²

师：现在你又发现了什么？

生汇报：不管圆的大小如何改变，外方内圆之间的面积都是半径平方的0.86 倍，而外圆内方之间的面积都是半径平方的1.14 倍。

师：真了不起，能发现变化的规律，又能从变中发现不变的规律。热烈的掌声送给他。

师：谁再来结合自己的例子说一说

生结合自己的例子重复说圆与正方形之间的面积变化中的不变规律

师：要判断刚才的结果对不对，可以怎么办？

生：把r=1m代入上述的两个结果算一算，发现与前面计算的结果完全一致。

【设计意图：在学生解决问题后，引导学生对本题进行回顾与反思，通过学生自己的举例，求出不同半径时圆与正方形之间的关系，既巩固了方法，又为学生从特殊到一般中发现规律提供资源，既验证了答案的正确性，又从变中发现不变的关系，建立一般的数学模型。】

3.总结梳理

师：通过刚才的研究发现，外圆内方与外方内圆的两图形之间的面积都跟谁有关？我们还从变中发现了不变的规律，我们可以用这个规律解决一些问题。