课外读物第一课时评课稿

第4讲

万有引力与航天

自主学习回顾

知识点一

万有引力定律的内容、公式及适用条件

☆知识梳理

1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成

，与它们之间的距离r的

成反比．

2．公式：FGm1m2，其中G＝

N·m2/kg2叫引力常量．

2r3．适用条件：公式适用于

间的相互作用．也适用于两个质量分布均匀的球体间的相互作用，但此时r是

间的距离，一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到

间的距离．

☆要点深化

1．万有引力和重力的关系

万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg，另一个是物体随地球自转需要的向心力F向，如图4－4－1所示，可知：

(1)地面上的物体的重力随纬度的增大而增大．故重力加速度g从赤道到两极逐渐增加．

(2)在两极：重力等于万有引力，重力加速度最大．

(3)在赤道：F万＝F向＋mg

故mgGMm2mR

2r(4)由于地球的自转角速度很小，地球的自转带来的影响很小，一般情况下认为：

GMmmg，故GM＝gR2，这是万有引力定律应用中经常用到的“黄金代换”．

2R/(5)距地面越高，物体的重力加速度越小，距地面高度为h处的重力加速度为：

g(R2)g

Rh其中R为地球半径，g为地球表面的重力加速度．

2．万有引力定律的基本应用

(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由

提供．

(2)“万能”连等式

v2mr2Mmmr

G2mgrmarmr(2)2Tmv

其中g r为距天体中心r处的重力加速度．

第

1 页

☆针对训练

1．假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增加到原来的2倍，仍做圆周运动，则(

) A．根据公式v＝ωr可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍

v2B．根据公式Fm，可知卫星所需的向心力将减小到原来的1/2 rMmC．根据公式FG2可知地球提供的向心力将减小到原来的1/4 rD．根据上述B和C中给出的公式可知，卫星运行的线速度将减小到原来的2

2知识点二

人造卫星

☆知识梳理

1．应用万有引力定律分析天体运动的方法

把天体运动看成是

运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供．

GMmmgrma_____________ ．

2r

应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算．

特别提醒

三个近似

近地卫星贴近地球表面运行，可近似认为做匀速圆周运动的半径等于地球半径；

在地球表面随地球一起自转的物体可近似认为其重力等于地球对它的万有引力；

天体的运动轨道可近似看作圆轨道．

2．关于同步卫星的五个“一定”

(1)轨道平面一定：轨道平面与

共面．

(2)周期一定：与地球自转周期

，即T＝24 h.

(3)角速度一定：与地球自转的角速度

．

(4)高度一定：由GMm222，得同步卫星离地面的高度

m()(Rh)2T(Rh)h＝

≈3.6×107 m. (5)速度一定：v＝

＝3.1×103 m/s. ☆要点深化

1．两种加速度——卫星的向心加速度和随地球自转的向心加速度的比较

产生

万有引力

方向

指向地心

卫星的向心加速度

物体随地球自转的向心加速度

万有引力的一个分力(另一分力为重力) 垂直指向地轴

2a地球r，其中r为地面上某点到GM大小

ag2a(地面附近a近似为g) r/地轴的距离

从赤道到两极逐渐减小

变化

随物体到地心距离r的增大而减小

第

2 页

2. 两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的比较

卫星的轨道半径是天体的卫星绕天体做圆周运动的圆的半径，所以r＝R＋h．当卫星贴近天体表面运动时，h≈0，可近似认为轨道半径等于天体半径．

3．两种周期——自转周期和公转周期的比较

自转周期是天体绕自身某轴线运动一周的时间，公转周期是卫星绕中心天体做圆周运动一周的时间．一般情况下天体的自转周期和公转周期是不等的，如：地球自转周期为24小时，公转周期为365天．但也有相等的，如月球，自转、公转周期都约为27天，所以地球上看到的都是月球固定的一面，在应用中要注意区别．

☆针对训练

2．2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙2251”卫星和美国的“铱33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞．这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件．碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境．假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运动速率比乙的大，则下列说法中正确的是(

) A．甲的运动周期一定比乙的长

B．甲距地面的高度一定比乙的高

C．甲的向心力一定比乙的小

D．甲的加速度一定比乙的大

3．我国正在自主研发“北斗二号”地球卫星导航系统，此系统由中轨道、高轨道和同步卫星等组成，可将定位精度提高到“厘米”级，会在交通、气象、军事等方面发挥重要作用．已知三种卫星中，中轨道卫星离地最近，同步卫星离地最远，则下列说法中正确的是(

) A．中轨道卫星的线速度小于高轨道卫星的线速度

B．中轨道卫星的角速度小于同步卫星的角速度

C．若一周期为8 h的中轨道卫星，某时刻在同步卫星的正下方，则经过24 h仍在该同步卫星的正下方

D．高轨道卫星的向心加速度小于同步卫星的向心加速度

知识点三

三种宇宙速度

☆知识梳理

宇宙速度

第一宇宙速度

数值(km/s) 7.9 意

义

这是发射绕地球做圆周运动卫星的最小发射速度，若7.9 km/s≤v＜11.2 km/s，物体绕

运行(环绕速度) 这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2 km/s≤v＜16.7 km/s，物体绕

运行(脱离速度) 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v≥16.7 km/s，物体将脱离

在宇宙空间运行(逃逸速度) 第二宇宙速度

11.2 第三宇宙速度

16.7 特别提醒

(1)三种宇宙速度均指的是发射速度，不能理解为环绕速度．

(2)第一宇宙速度既是最小发射速度，又是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度．

第

3 页

☆要点深化

1．如何推导出第一宇宙速度？

由于在人造卫星的发射过程中，火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射到近地表面运行，此时发射时的动能全部转化为绕行的动能而不需要转化为重力势能．

根据论述可推导如下：

v12MmGM

G2m，v17.9km/s

RRRv12

或mgm，

v1gR7.9km/s

R2．两种速度——环绕速度与发射速度的比较

(1)不同高度处的人造卫星在圆轨道上运行速度即环绕速度v环绕GMv环绕，其大r小随半径的增大而减小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，增大势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，此时v发射>v环绕．

(2)人造地球卫星的最小发射速度应是卫星发射到近地表面运行，此时发射动能全部作为绕行的动能而不需要转化为重力势能．此速度即为第一宇宙速度，此时v发射＝v环绕．

☆针对训练

4．2009年3月7日(北京时间)世界首个用于探测太阳系外类地行星的“开普勒”号太空望远镜发射升空，在银河僻远处寻找宇宙生命．假设该望远镜沿半径为R的圆轨道环绕太阳运行，运行的周期为T，万有引力恒量为G.仅由这些信息可知(

) A．“开普勒”号太空望远镜的发射速度要大于第三宇宙速度

B．“开普勒”号太空望远镜的发射速度要大于第二宇宙速度

C．太阳的平均密度

D．“开普勒”号太空望远镜的质量

5．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．

(1)推导第一宇宙速度v1的表达式；

(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T．

第

4 页

解题思路探究

题型1 万有引力定律在天体运动中的应用

【例1】

“嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束．其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行．若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的1/6，月球半径为地球半径的1/4，根据以上信息得(

) A．绕月与绕地飞行周期之比为

B．绕月与绕地飞行周期之比为

C．绕月与绕地飞行向心加速度之比为1∶6

D．月球与地球质量之比为1∶96

以题说法

1．两条线索

(1)万有引力提供向心力F引＝F向．

(2)重力近似等于万有引力提供向心力．

2．两组公式

Mmv22m2rm()2r

G2mrTrv22m2rm()2r

(g r为轨道所在处重力加速度)

mgrmrT3．应用实例

(1)天体质量M、密度ρ的估算

测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，

Mm22MM3r342r3)r得M由G2m(，，R为天体的半2324TVrGTR3GTR3径．

当卫星沿天体表面绕天体运行时，r＝R，则3

2GT

(2)卫星的绕行速度、角速度、周期与半径R的关系

Mmv2GM

①由G2m得v知：r越大，v越小．

rrr

②由GMmGM2mr得知：r越大，ω越小．

23rrMm22)r得T

③由G2m(Tr

42r3知：r越大，T越大．

GM第

5 页

变式训练

1－1

2008年9月27日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太空行走标志着中国航天事业全新时代的到来(如图4－4－2所示)．“神舟七号”绕地球做近似匀速圆周运动，其轨道半径为r，若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的半径为2r，则可以确定(

) A．卫星与“神舟七号”的加速度大小之比为1∶4 B．卫星与“神舟七号”的线速度大小之比为1∶

C．翟志刚出舱后不再受地球引力

D．翟志刚出舱任务之一是取回外挂的实验样品，假如不小心实验样品脱手，则它做自由落体运动

图4－4－2

1－2

近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)(

) kk

B．ρ＝kT

C．ρ＝kT2

D．2

TT题型2 天体表面重力加速度

11【例2】

火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星102表面的重力加速度约为(

)

A．A．0.2g

B．0.4g

C．2.5g

D．5g

以题说法

星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法

设天体表面的重力加速度为g，天体半径为R，则

mgGMmGM2g(或GMgR），即

22RR若物体距星体表面高度为h，则

MmGMR2/mg/G，即g()g

22（Rh）Rh(Rh)变式训练

2－1 英国《新科学家(New Scientist)》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650500双星系统中发现的最小黑洞位列其中．若某黑洞的半径R约45 km，质量MMc2和半径R的关系满足

(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度R2G的数量级为(

) A．108 m/s2

B．1010 m/s2

C．1012 m/s2

D．1014 m/s2

第

6 页

题型3 宇宙速度问题的分析

【例3】

我国成功发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的11，月球的半径约为地球半径的，地814球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为(

) A．0.4 km/s

B．1.8 km/s

C．11 km/s

D．36 km/s

以题说法

(1)解决此类题的关键：要明确卫星的第一宇宙速度等于最大环绕速度．

(2)解决万有引力定律的应用问题，尽管题目很多，但其基本方法是不变的，即把天体的运动看成圆周运动，万有引力提供向心力．

变式训练

3－1

北京时间2007年11月7号上午8点24分，在北京航天飞行控制中心的控制下，嫦娥一号卫星主发动机点火成功，工作10分钟后，发动机正常关机，嫦娥一号进入距月球表面约200公里的圆轨道．设月球半径约为地球半径的1/4，月球质量约为地球质量的1/81，不考虑月球自转的影响，据此完成下列问题．(地球表面处的重力加速度g取10 m/s2)，地球半径R＝6 400 km，21.4计算结果保留两位有效数字) (1)在月球上要发射一颗环月卫星，则最小发射速度多大？

(2)嫦娥一号卫星在距月球表面约200公里绕月做匀速圆周运动的速度大小约为多少？

3－1

如图4－4－3所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是(

)

A．a1raR

B．1()2

a2Ra2r

C．v1rv

D．1v2Rv2R

r图4－4－3

第

7 页

【典型例题】

例1. 若已知某行星的一个卫星绕其运转的轨道半径为R，周期为T，引力常量为G，则可求得

A. 该卫星的质量

B. 行星的质量

C. 该卫星的平均密度

D. 行星的平均密度

Mm4242R3解析

由G2mR2得M，其中M表示行星的质量。

RTGT2答案

B 说明

卫星运动的向心力由行星对它的万有引力提供，卫星运动的轨道半径和周期可以用天文的方法观测到；用此种方法可以计算中心天体的质量，不能计算卫星的质量；如果卫星轨道与行星表面接近，可以算出行星的密度。

例2. 地球半径为R，地面附近的重力加速度为g0，则在离地面高度为h的地方的重力加速度的大小是

Rg0g0h2g0R2g0

A.

B.

C.

D.

222Rh(Rh)(Rh)(Rh)解析

地面附近的重力加速度：g0GM，离地面高度为A的地方重力加速度：R2g'GM，由以上两式解得：

(Rh)2g0R2

g'

(Rh)2答案

B 说明

地面附近物体的重力加速度满足mg0GMmR2，离地面高度为A的地方的重力加速度满足mgGMm(Rh)。

例3. 一个质量分布均匀的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示。已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为m2的质点，求剩余部分对m2的万有引力。

解析

将挖去的小球填入空穴中，由V的引力为

24R3可知，大球的质量为8m，大球对m23

第

8 页

F1G8mm22mm2

G22(6r)9r被挖去的小球对m2的引力为

F2Gmm2mm2

G(5r)225r2m2所受剩余部分的引力为

FF1F241mm2G

225r2说明

该题不能直接应用万有引力定律公式计算，因为挖有空穴的球剩余部分既不能视作质点，也不是质量均匀分布的球体。在此采用“填补法”进行等效计算，因为球心、空穴中心与质点在同一直线上，可分别求出完整的球体及相当于空穴大小的球体对m2的引力，然后再求二力的合力。

第

9 页