1.2.2 极坐标系与直角坐标的关系第二课时教学设计

坐标系与参数方程

北流市第二中学

易绍武

1、

极坐标系

必备知识

（1）

极坐标系的概念

在平面内任取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一

个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。

设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记做；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为。有序数对（,）叫做点M的极坐标，记作（,）。

（2）

极坐标和直角坐标的互化

设M是平面内任意一点，它的直角坐标是x,y，极坐标是（,），可以得出它们之间的关系：xcos，ysin。又可得到关系式：2x2y2，tan

y(x0)。这就是极坐标与直角坐标的互化公式。

x（3）

圆的极坐标方程

①

圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为R；

②

圆心在极轴上的点（a,0）处，且圆过极点O的圆的极坐标方程为2acos；

③

圆心在点(a,2)处且过极点的圆的极坐标方程为2asin,0。

例题选讲

例1．在极坐标系中，过圆=6cos的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为

分析：把极坐标方程化为普通方程求出直线，再得到极坐标方程。

解：由题意可知圆的标准方程为x3y29，圆心是(3．0) 所求直线标准方程x＝3，则坐标方程为cos＝3．

答案：cos＝3．

评注：在研究极坐标问题时常常要把极坐标方程转化为普通方程解决问题。

例2．（08广东卷理13）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为cos3，24cos≥0，0≤，则曲线C1与C2交点的极坐标为

．

2分析：本题给出的是极坐标方程，而所求的交点为极坐标，可以直接求解。

πcos3解：联立解方程组(0,0)解得24cos(23,)。

6答案：(23,23,即两曲线的交点为66)

评注：本题中的已知与所求都是极坐标问题，所以可以直接求解。当然也可以转化为普通方程解答。

例3．（2009大丰市）已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值。

分析：可以把极坐标方程转化为普通方程，再结合图形解答问题。

解：将极坐标方程转化成直角坐标方程：ρ=3cosθ即：x2＋y2=3x,

(x－ρcosθ=1即x=1直线与圆相交。所求最大值为2，最小值为0

评注：将极坐标方程转化为普通方程是解决两曲线位置关系的重要方法。

3229)＋y=

24

例4．（2008盐城市）在极坐标系中,设圆3上的点到直线cos3sin2的距离为d,求d的最大值. 分析：已知圆为极坐标方程，可以转化为普通方程，然后改写为参数式即可表示出圆上任意一点的坐标，并把直线的极坐标方程转化为普通方程，圆上的点的坐标可以表示出来，由点到直线的距离公式即可求出。也可以转化为圆心到直线的距离利用数形结合的思想解答。

解法一、将极坐标方程3转化为普通方程：x2y29， cos3sin2可化为x3y2，在x2y29上任取一点A3cos,3sin,则点A到直线的距离为

d3cos33sin226sin(300)22,它的最大值为4 解法二、将极坐标方程3转化为普通方程：x2y29， cos3sin2可化为x3y2，则圆心到直线的距离为1，圆的半径为3，所以圆上的点到直线的最大距离为4。

评注：在求点线距离时常常转化为普通方程解答，而且要学会转化的思想和数形结合的思想。

2、

参数方程

必备知识

（1）直线的参数方程

若直线过x0,y0，为直线倾斜角，则直线的参数方程为线的参数方程，其中参数t有明显的几何意义。

（2）圆的参数方程

若圆心在点M0(x0,y0)，半径为R，则原的参数方程为xx0tcos这是直yytsin0xx0Rcos,02。

yy0Rsin,（3）椭圆的参数方程

若椭圆的中心不在原点，而在点M0(x0,y0)，相应的椭圆参数方程为

xx0acost,02

yy0bsint,（4）

双曲线的参数方程

xasecx2y2双曲线221(a0,b0)的参数方程为

abybtan例题选讲

例1．（08海南、宁夏理）已知曲线C1：xcos，（为参数），

ysinx曲线C2：y2t2，2（t为参数）．

22（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；

（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1，C2．写出C1，C2的参数方程．C1与C2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．

分析：从参数方程来看曲线C1为圆，曲线C2为直线，也可以通过消参数，求得曲线的普通方程判断。并由参数方程进行图象的变换，得到曲线C1，C2，再将其方程化为普通方程解方程组判断其交点的个数。

22解：（Ⅰ）C1是圆，C2是直线．C1的普通方程为xy1，圆心C1(0，0)，半径r1．

C2的普通方程为xy20．因为圆心C1到直线xy20的距离为1，

所以C2与C1只有一个公共点．

xcos，（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为C1：（为参数）；

1ysin2xC2：y2t2，122C2：yxC1：（t为参数）．化为普通方程为：，

x24y21，222t42联立消元得2x22x10，其判别式(22)24210，所以压缩后的直线

C2与椭圆C1仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．

评注：本题较为综合的考查了参数方程和普通方程之间的转化，在研究图象的伸缩变换时用参数方程比较容易得到。而判断两曲线的位置关系则用普通方程通过解方程组得到较好。

例2．（2007年广东省深圳市）若直线yxb与曲线xcos(为参数，且ysin22)有两个不同的交点，则实数b的取值范围是__________． 分析：本题中参数方程表示的是圆的一部分，可以通过图形解答。

xcos解：曲线(为参数，且)表示的以原点为圆心，以1为半径的右半22ysin圆，如图，直线yxb与曲线有两个不同的交点,直线应介于

两直线之间则b(2,1]

答案：(2,1]

评注：对于熟悉的曲线常用数形结合法解答. 例3．（2007年广东，理13）在平面直角坐标系xＯy中，直线L的参数方程为x＝t＋3，y＝3－tx＝2cos 2）（参数tR），圆Ｃ的参数方程为（参数0

，，则圆Ｃ的圆心坐标y＝2sin＋2为

，圆心到直线L的距离为

。

分析：把参数方程转化为普通方程,并由点到直线的距离公式求解.

解：消去x＝2cosx＝t＋32的参数，得x2y24；消去的参数t，

y＝2sin＋2y＝3－t02611＝22，

得x＋y＝6，所以圆Ｃ的圆心坐标是（0，2）。圆心到直线L的距离是|26|2或直线的方程为x+y-6=0，圆心到直线L的距离是d=22。

答案：（0，2）；22

评注：对于含有正弦余弦的参数方程常常利用正弦余弦的平方和消参转化.

x2y21上的一个动例4．（2008江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆3

点，求Sxy的最大值．

分析：由于已知条件椭圆为二次式，而所求为一次式，所以要求Sxy的最大值需要把椭圆的方程改写为参数方程变为一次运用代入求之。

x2x3cos2y1的参数方程为解：

因椭圆，

(为参数）3ysin故可设动点P的坐标为(3cos,sin），其中02. 因此Sxy3cossin2(所以，当31cossin)2sin()

2236时，S取最大值2。

评注：在所求函数为一次，而已知为二次时，常常用曲线的参数方程求出，其实质为换元或为三角代换，目的就是降次。

x12t,x3cos,例5．（江苏省南通市2008-2009）求直线（t为参数）被圆（α为参y12ty3sin数）截得的弦长．

分析：把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长。

x12t,x3cos,解：把直线方程化为普通方程为xy2．将圆化为普通方程为y12ty3sinx2y29．圆心O到直线的距离d222，弦长L2R2d229227．

x12t,x3cos,所以直线被圆截得的弦长为27．

y12ty3sin评注：消去参数可得普通方程，在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参。

3、

极坐标方程与参数方程混合

例1．（2008南通四县市）已知曲线C的极坐标方程是4cos．以极点为平面直角坐标2xt12系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：，y2t2求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．

分析：本题中的曲线为极坐标方程，直线为参数方程，要求弦长，就要把它们都统一成普通方程，再进一步解答。

解：曲线C的极坐标方程是4cos化为直角坐标方程为x2y24x0，

2xt122即x2y24，直线l的参数方程，化为普通方程为x－y－1=0，

y2t2曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为弦长241=14．

212，所以直线l与曲线C相交所成的弦的22评注：在题目中同时出现极坐标方程和参数方程的问题，要统一成普通方程解答；对于直线被圆截得的弦长一般由圆心距和半径求出。

例2．（2008宁夏银川一中）已知椭圆C的极坐标方程为212，点F1、223cos4sin2x2t2(t为参数，t∈R)．

F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为y2t2（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程； （Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和. 分析：本题中的椭圆为极坐标方程，直线为参数方程，先把它们化为普通方程，再由点到直线的距离公式求距离。

x2y2解: (Ⅰ) 直线l普通方程为 yx2；曲线C的普通方程为1

43 (Ⅱ) ∵F1(1,0),F2(1,0)，∴点F1到直线l的距离d1点F2到直线l的距离d2102232, 210222,

∴d1d222.

2评注：本题主要考查极坐标方程、参数方程转化为普通方程的过程。极坐标方程化为普通方xcos程时可由公式进行转化，即同乘右面的分母把分母去掉，得到普通方程。而对ysin于参数方程则需要两式相减消掉参数即可。

例3．（淮安、徐州、宿迁、连云港四市2008—2009）已知在直角坐标系x0y内，直线l的参数方程为x22t,

(t为参数)．以Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为y14t,422sin(). (1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)判断直线l和圆C的位置关系.

分析：直线比较容易得到普通方程，而圆则需要用两角和的正弦公式展开，并需要两边同乘以才能将极坐标方程化为普通方程。再由圆心到直线的距离与半径比较进行判断。

解：（1）消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y2x3； 22sin(4),即2(sincos)，两边同乘以得22(sincos)，消去参数，得⊙C的直角坐标方程为：(x1)2(y1)22 （2）圆心C到直线l的距离d|213|2212252，所以直线l和⊙C相交．

5评注：注意在把极坐标方程化为普通方程时，极点应在直角坐标原点处，而且极轴要与x轴重合。