命题、定理、证明1课时教案

5.3.2

命题、定理、证明（教案）

教学目标：

1．理解命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……”的形式；

2．建立“定理”的概念。

3．了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对命题举反例。

教学重点：把命题写成“如果……那么……”的形式；

教学难点：假命题证明方法（举反例）。

教学过程：

一、情境导入

前面，我们在学习的过程中经常遇到：“符合什么条件的事情叫做什么或符合什么条件的事情是什么”这样的语言。例如，①两直线平行，同位角相等；②同角的余角相等；③同位角相等，两直线平行等等。

你认为这些语句有什么特点？它们都可以添上关联词语“如果……那么……”吗？给它们下一个定义吧。并说一说命题由哪两部分组成？其中，题设又叫什么？（条件）。

二、合作探究

探究点一：命题的定义与结构

【类型1】

命题的判断

例1

下列语句中，不是命题的是(

) A．两点之间线段最短

B．对顶角相等

C．不是对顶角不相等

D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线

解析：根据命题的定义，看其中哪些选项是判断句，其中只有D选项不是判断句．故选D.

方法总结：①命题必须是一个完整的句子，而且必须做出肯定或否定的判断．疑问句、感叹句、作图过程的叙述都不是命题；②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果……那么……”．

【类型2】

把命题写成“如果……那么……”的形式

例2

把下列命题写成“如果……那么……”的形式．

(1)内错角相等，两直线平行；

(2)等角的补角相等．

解：(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；

(2)如果两个角是相等的角，那么它们的余角相等．

方法总结：把命题写成“如果……那么……”的形式时，应添加适当的词语，使语句通顺．

【类型三】

命题的条件和结论

例3

写出命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设和结论．

解析：先把命题写成“如果……那么……”的形式，再确定题设和结论．

解：把命题写成“如果……那么……”的形式：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．所以命题的题设是“两条直线都与第三条直线平行”，结论是“这两条直线也互相平行”．

方法总结：每一个命题都一定能用“如果……那么……”的形式来叙述．在“如果”后面的部分是“题设”，在“那么”后面的部分是“结论”．

探究点二：真命题与假命题

例4

下列命题中，是真命题的是(

) A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0

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B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0 C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 解析：选项A中，a·b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B中，a·b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；选项C中，a·b＝0可得a、b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；选项D中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或二者同时为0，是真命题．故选D.

方法总结：判断一个命题是真命题还是假命题，就是判断一个命题是否正确，即由题设能否得出结论．如果命题正确，就是真命题；如果命题不正确，就是假命题．

抽生回答：什么是定理？定理是真命题吗？

探究点三：真命题（定理）的证明与假命题的证明（举反例）

【类型一】

命题的证明

例5

求证：两条直线平行，一组内错角的平分线互相平行．

解析：按证明与图形有关的命题的一般步骤进行．要证明两条直线平行，可根据平行线的判定方法来证明．

解：如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，求证：PG∥HQ.

证明：∵AB∥CD(已知)，

∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行，内错角相等)．

又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，

11∴∠GPQ＝∠BPQ，∠HQP＝∠CQP(角平分线的定义)，

22∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，

∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．

方法总结：证明与图形有关的命题时，正确分清命题的题设和结论是证明的关键．应先结合题意画出图形，再根据图形写出已知与求证，然后进行证明．

上面的全过程就是今天要说的“证明”。其实，前面的《几何》学习中我们已经做过“证明”这件事了，只是没有写“证明”二字吧了。

请说一下证明的步骤。

【类型二】

举反例

例6

举反例说明下列命题是假命题．

(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；

(2)若ab＝0，则a＋b＝0. 解析：分清题目的题设和结论，所举的例子满足题设但不满足结论即可．

解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；

(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0. 方法总结：举反例时，所举的例子应当满足题目的题设，但不满足题目的结论．举反例时常见的几种错误：①所举例子满足题目的题设，也满足题目的结论；②所举例子不满足题目的题设，但满足题目的结论；③所举例子不满足题目的题设，也不满足题目的结论．

三、小结：

1、命题：题设+ 结论。真命题或假命题；

2、定理：用推理的方法证明是真命题的命题。

3、证明：

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