*5 一元二次方程的根与系数的关系主要内容及教案内容

第二章

一元二次方程

5．一元二次方程的根与系数的关系

崇州市白头中学

宋洪德

一、学生知识状况分析

“一元二次方程根与系数的关系”教材中是选学内容，是《一元二次方程》中继“一元二次方程的解法”及“一元二次方程的判别式”之后的一个学习内容，学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础。基于初中三年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学中，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。

二、教学任务分析

本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。为此，确定本节课的教学目标为：

1、理解掌握一元二次方程ax+bx+c=0

(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。

2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。

3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。

4、会由已知一元二次方程的根的关系，求方程中的待定系数。

2

1

5、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：第一环节：小组交流，复习回顾旧知；第二环节：情境引入，课堂展示：探究新知；第四环节：信息反馈；第五环节：拓展延伸；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业。

第一环节：小组交流，复习回顾旧知。

内容：

1、一元二次方程的一般形式是什么，应该注意什么条件？

【ax+bx+c=0

(a≠0) 】

2 2、一元二次方程有实数根的条件是什么？【△=b-4ac≥0】

3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？

4、应用一元二次方程的求根公式时要注意是什么？其公式是什么？2【】

目的：通过小组同学间的相互提问，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，发现问题并解决问题。有利于学生衔接前后知识，为后面的学习打好基础，做好铺垫。

第二环节：情景引入，课堂展示：探究新知

内容：同学们，看谁能快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？

你是怎样做的？

2

（1）x+2x+1=0 （2）x+3x-4=0 （3） 2x-3x +1=0 目的：通过游戏，激发学生学习兴趣。

内容：

计算填表（验证第一环节游戏的结果）

方程

x+2x+1=0 x+3x-4=0

2x-3x +1=0 222222

x1

x2

x1+x2

x1x2

问题：

1、通过上表，你发现一元二次方程的两根和与两根积与它的系数的关系吗？

2、是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？小组内再举两个例子试一试？

3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax+bx+c=0

(a≠0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。

4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。

（分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。）

目的：本环节采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手、动脑，又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。

2第四环节：信息反馈。

1：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积

3

（1）x-3x-1=0

x1+x2= ________

x1x2= 2________

（2）2x2 5x=0

x1+x2= ________

x1x2= ---------________

（3）x2+7x=-6

x1+x2= _________

x1x2= _________ （4）5x2+x-6=0

x1+x2= _________

x1x2= _________ 2、利用根与系数的关系，求一元二次方程x2-3x-5=0的两个根的

（1）平方和

（2）倒数和

（3）差

23、已知方程6x+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值。

注意：1、方程要整理成一般形式，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生的易错点，。

2、将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式时，注意式子的变形。

3、体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。

第五环节：拓展延伸。

1．已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0的两根满足▏x11- x2

▏=22,求m的值，并求出方程的两根。（注意：根与系数的关系的前提条件是△≧0，所以，要么先判断△，要么求出m后，验证△。）

第六环节 课堂小结：

4

内容：师生互相交流总结

在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c有哪些作用？

①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；

②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；

③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=

⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。

第七环节 布置作业

教材、配套练习册。

x1x2= 5

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