*5 一元二次方程的根与系数的关系教学设计实例

北师大版九年级数学下册第二章第5节

《二次函数与一元二次方程（第1课时）》教学设计

西乡县第三中学 张欢

一、

教材分析：

1、

教材的地位和作用

本节课在整个二次函数性质中占有重要地位，它是联系函数与方程的纽带，也是数形结合最有力结合的运用。通过学习，进一步培养学生运用数形结合思想解决问题的能力．

2、

教学重难点

①教学重点：理解二次函数yax2bxc的图象与x轴交点的个数与一元二次方程ax2bxc0的根的个数及判别式之间的关系．

②教学难点：理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝h(h是实数)交点的横坐标，

二、学情分析

学生已经学习过二次函数的图象和性质，这是单纯从函数知识“形”的层面进行认识，本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系，将从方程知识“数”的层面进一步认识二次函数，也就是用数形结合的数学思想来认识二次函数．

三、教学目标分析

1、知识与技能：理解二次函数yaxbxc的图象与x轴交点的个数与一2元二次方程axbxc0根的个数之间的对应关系；会利用二次函数的图象2与x轴交点的横坐标解相应的一元二次方程．

22、过程与方法：通过观察二次函数yaxbxc图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程ax2bxc0的根的情况，并通过一元二次方程ax2bxc0判别式讨论二次函数yax2bxc与x轴交点的横坐标．

1

3、情感态度与价值观：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，结合数形结合的思想体会二次函数与方程之间的联系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性．

四、教学过程分析

第一环节：复习旧知：

一次函数y=kx+b（k≠0）与一元一次方程kx+b=0（k≠0）有什么关系？

(1)从“数”的方面看:当一次函数y=kx+b中y=0时,相应自变量x的值为方程kx+b=0的解。

(2)从“形”的方面看:直线y=kx+b与x轴交点的横坐标，是对应的方程kx+b=0的解。

第二环节：情景导入：

我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式y5t2v0th0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，观察并思考下列问题：

（1）h和t的关系式是什么？

h5t240t

（2）小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流．

[方法一]看图象可知，8秒落地

2[方法二]解方程：5t40t0

第三环节：问题探究

1、探究一：二次函数与一元二次方程的关系

依次观察二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2图象与x轴的交点，并求当

2

x取交点的横坐标时，函数值是多少？计算相应的一元二次方程的根，由此你能得出什么结论？

二次函数与一元二次方程的关系：

(1)从“数”的方面看:当二次函数y=ax2+bx+c中y=0时,相应自变量x的值为一元二次方程ax2+bx+c=0的根. (2)从“形”的方面看:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 当堂训练1：

1、一元二次方程3x2＋x-10=0的两个根是x1=-2，x2=

，则二次函数y=3x2＋x-10与x轴的交点坐标是_______ . 2.若二次函数y=-x2＋2x＋k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k=0的两个根是________；

探究二：探究抛物线与x轴的交点个数与一元二次方程根及判别式的关系

观察二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图像与x轴的交点个数，

并求相应的一元二次方程有几个实数根？由此你能得到什么结论？

3

结论1：二次函数与一元二次方程有下列对应关系：

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的位置关系

有两个公共点

只有一个公共点

无公共点

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况

有两个不相等的实数根

有两个相等的实数根

无实数根

b2－4ac的值

b2－4ac>0 b2－4ac＝0 b2－4ac<0 结论2：若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点为(x0，0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根．

当堂训练3 1.若一元二次方程x²-mx+n=0无实根，则抛物线y=x²-mx+n的图象位于(

)

A.x轴上方

B.一、二、三象限

C.x轴下方

D.二、三、四象限

2、抛物线y= x²-x-2与坐标轴的交点个数是（

）

A．0

B．1

C．2

D．3 3、已知抛物线y=ax²+2x+1与x轴没有交点，则顶点在（

）象限。

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限。

探究三：探究二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=d的关系

1、在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？

解方程组:t1=2，t2=6，观察图像:2秒或6秒

结论：二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=d的关系

(1)从“数”的方面看: 当二次函数y=ax2+bx+c中y=d时,相应自变量x的值是一元二次方程ax2+bx+c=d的根. (2)从“形”的方面看: 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=d交点的横坐标，是对应的一元二次方程ax2+bx+c=d的根. 第四环节：课堂小结

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1二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系

2、抛物线与x轴的交点个数与一元二次方程的根（及判别式）的关系

3、二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=d的关系

四、教学反思

本课时表面上显得简单，实际是初高中衔接中的关键点之一，在讲授时需紧紧扣住数形结合的思想这条主线，培养学生尽早形成对本章知识完整的理解。

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