4　概率波教学设计第二课时

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概率波

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不确定性关系

[学习目标]

1.了解经典物理学中的粒子和波的特点.2.了解概率波的内容.3.了解不确定性关系的含义．

一、概率波

1．经典的粒子和经典的波：

(1)经典的粒子：

①含义：粒子有一定的空间大小，具有一定的质量，有的还具有电荷．

②运动的基本特征：遵从牛顿运动定律，任意时刻有确定的位置和速度，在时空中有确定的轨道．

(2)经典的波：

①含义：在空间是弥散开来的．

②特征：具有频率和波长，即具有时空的周期性．

2．概率波：

(1)光是概率波：光子落在各点的概率是不一样的，即光子落在明纹处的概率大，落在暗纹处的概率小．这就是说，光子在空间出现的概率可以通过波动的规律确定，因此从光子概念上看，光波是一种概率波．

(2)物质波也是概率波：对于电子和其他微观粒子，单个粒子的位置是不确定的，但在某点附近出现的概率的大小可以由波动的规律确定．对于大量粒子，这种概率分布导致确定的宏观结果，所以物质波也是概率波．

二、不确定性关系

1．定义：在经典物理学中，可以同时用质点的位置和动量精确描述它的运动，在微观物理学中，要同时测出微观粒子的位置和动量是不太可能的，这种关系叫不确定性关系．

h2．表达式：ΔxΔp≥. 4π其中以Δx表示粒子位置的不确定量，以Δp表示粒子在x方向上的动量的不确定量，h是普朗克常量．

3．微观粒子运动的基本特征：不再遵守牛顿运动定律，不可能同时准确地知道粒子的位置和动量，不可能用“轨迹”来描述粒子的运动，微观粒子的运动状态只能通过概率做统计性的

描述．

[即学即用]

1．判断下列说法的正误．

(1)光子通过狭缝后落在屏上的位置是可以确定的．(

×

) (2)光子通过狭缝后落在屏上亮条纹处的概率大些．(

√

) (3)电子通过狭缝后运动的轨迹是确定的．(

×

) (4)经典的波在空间传播具有周期性．(

√

) (5)宏观物体的动量和位置可准确测定．(

√

) (6)微观粒子的动量和位置不可同时准确测定．(

√

) 2．一辆摩托车以20 m/s的速度向墙冲去，车身和人的总质量为100 kg，则车撞墙时的不确定范围是________．(h＝6.63×10答案

大于等于2.64×10－38－34 J·s) m －6.63×1034hh－解析

根据不确定性关系ΔxΔp≥得：Δx≥＝

m≈2.64×1038

4π4πΔp4×3.14×100×20m.

一、对概率波的理解

[导学探究]

用极微弱的可见光做双缝干涉实验，随着时间的增加，在屏上先后出现如图1甲、乙、丙所示的图象．

图1 (1)图象甲是曝光时间很短的情况，光点的分布有什么特点？说明了什么问题？

(2)图象乙是曝光时间稍长情况，当光子数较多时落在哪些区域的概率较大？可用什么规律来确定？

(3)图象丙是曝光时间足够长的情况，体现了光的什么性？怎样解释上述现象？

答案

(1)当曝光时间很短时，屏上的光点是随机分布的，具有不确定性，说明了光具有粒子性．

(2)落在某些条形区域的概率较大，这种概率可用波动规律来确定．

(3)光的波动性．综合上面三个图象可知，少量光子呈现粒子性，大量光子呈现波动性，而且光是一种概率波．

[知识深化]

1．单个粒子运动的偶然性：我们可以知道粒子落在某点的概率，但不能预言粒子落在什么位置，即粒子到达什么位置是随机的，是预先不能确定的．

2．大量粒子运动的必然性：由波动规律我们可以准确地知道大量粒子运动时的统计规律，因此我们可以对宏观现象进行预言．

3．概率波体现了波粒二象性的和谐统一：概率波的主体是光子、实物粒子，体现了粒子性的一面；同时粒子在某一位置出现的概率受波动规律支配，体现了波动性的一面，所以说概率波将波动性和粒子性统一在一起．

4．光的波动性不是光子之间的相互作用引起的：

(1)在双缝干涉实验中，光源非常弱，以至它在前一个光子到达屏幕之后才发射第二个光子，这样就排除了光子之间相互作用的可能性．

(2)尽管单个光子的落点不可预知，但是长时间曝光之后仍然可以得到明暗相间的条纹，可见，光的波动性不是光子之间的相互作用引起的，而是光子自身固有的性质．

例1

(多选)在单缝衍射实验中，中央亮纹的光强占从单缝射入的整个光强的95%以上，假设现在只让一个光子通过单缝，那么该光子(

) A．一定落在中央亮纹处

B．一定落在亮纹处

C．可能落在暗纹处

D．落在中央亮纹处的可能性最大

答案

CD 解析

根据光波是概率波的概念，对于一个光子通过单缝落在何处，是不可确定的，但概率最大的是落在中央亮纹处，可达95%以上，当然也可落在其他亮纹处，还可能落在暗纹处，不过，落在暗纹处的概率很小，故C、D选项正确．

例2

关于电子的运动规律，以下说法正确的是(

) A．电子如果不表现波动性，则无法用轨迹来描述它们的运动，其规律遵循牛顿运动定律

B．电子如果不表现波动性，则可以用轨迹来描述它们的运动，其规律遵循波动规律

C．电子如果表现波动性，则无法用轨迹来描述它们的运动，空间分布的概率遵循波动规律

D．电子如果表现波动性，则可以用轨迹来描述它们的运动，其规律遵循牛顿运动定律

答案

C 解析

电子的运动属于概率波，少量电子表现出粒子性，不遵循牛顿运动定律，无法用轨迹描述其运动，A、B错．大量电子表现出波动性，无法用轨迹描述其运动，可确定电子在某点附近出现的概率，且概率波遵循波动规律，C对，D错．

针对训练

(多选)在双缝干涉实验中出现的亮暗条纹说明了(

) A．光具有波动性

C．光波是一种概率波

答案

AC 解析

双缝干涉实验中出现的亮条纹和暗条纹，说明了光子落点具有一定的概率，即符合概率波的规律，并说明光具有波动性．

二、不确定性关系

[导学探究]

1．如果光子是经典的粒子，它在从光源飞出后应该做匀速直线运动，它在屏上的落点应该在缝的投影之内，即屏上亮条纹宽度与缝宽相同．但是实际上，它到达屏上的位置超出了单缝投影的范围，形成了中间宽、两侧窄、明暗相间的衍射条纹，如图2所示．

B．光具有粒子性

D．以上说法全都错误

图2 微观粒子的运动是否遵循牛顿运动定律？能否用经典物理学的方法准确确定粒子到达屏上的位置和动量？

答案

按照牛顿运动定律，如果光子是经典的粒子，它在运动过程中不受力，光子应该做匀速直线运动．而由光的衍射可知，光子运动并不遵从牛顿运动定律，即对于微观粒子的运动，不能用经典物理学的方法确定其位置及动量．

2．单缝衍射时，屏上各点的亮度反映了粒子到达这点的概率．图3是粒子到达屏上的概率在坐标系中的表示．

图3 (1)如果狭缝变窄，粒子的衍射图样中，中央亮条纹变宽．这说明当粒子的位置不确定量减小时，动量的不确定量如何变化？

(2)通过狭缝后，单个粒子的运动情况能否预知？粒子出现在屏上的位置遵循什么规律？

(3)粒子位置的不确定量Δx与动量的不确定量Δp有什么关系？

答案

(1)变大

(2)不能

粒子出现在屏上的位置遵循统计规律

h(3)遵循不确定性关系：ΔxΔp≥

4π

[知识深化]

1．粒子位置的不确定性：单缝衍射现象中，入射的粒子有确定的动量，但它们经过狭缝后可以处于任何位置，也就是说，粒子的位置是完全不确定的．

2．粒子动量的不确定性：

(1)微观粒子具有波动性，会发生衍射．大部分粒子到达狭缝之前沿水平方向运动，而在经过狭缝之后，有些粒子跑到投影位置以外．这些粒子具有与其原来运动方向垂直的动量．

(2)由于哪个粒子到达屏上的哪个位置是完全随机的，所以粒子在垂直方向上的动量也具有不确定性，不确定量的大小可以由中央亮条纹的宽度来衡量．

h3．位置和动量的不确定性关系：ΔxΔp≥. 4πh由ΔxΔp≥可以知道，在微观领域，要准确地确定粒子的位置，动量的不确定性就更大；反4π之，要准确地确定粒子的动量，那么位置的不确定性就更大．

微观粒子的位置和动量是不能同时被确定的，这也就决定了不能用“轨迹”的观点来描述粒子的运动．

h例3

(多选)根据不确定性关系ΔxΔp≥，判断下列说法正确的是(

) 4πA．采取办法提高测量Δx精度时，Δp的精度下降

B．采取办法提高测量Δx精度时，Δp的精度上升

C．Δx与Δp测量精度与测量仪器及测量方法是否完备有关

D．Δx与Δp测量精度与测量仪器及测量方法是否完备无关

答案

AD 解析

不确定性关系表明，无论采用什么方法试图确定位置坐标和相应动量中的一个，必然引起另一个较大的不确定性，这样的结果与测量仪器及测量方法是否完备无关，无论怎样改善测量仪器和测量方法，都不可能逾越不确定性关系所给出的限度．故A、D正确．

h－例4

已知＝5.3×1035 J·s，试求下列情况中速度测定的不确定量，并根据计算结果，讨4π论在宏观和微观世界中进行测量的不同情况．

(1)一个球的质量m＝1.0 kg，测定其位置的不确定量为106 m. －(2)电子的质量me＝9.0×10答案

见解析

解析

(1)m＝1.0 kg，

Δx1＝106 m，

－－31 kg，测定其位置的不确定量为10－10 m. h由ΔxΔp≥，Δp＝mΔv知

4π

5.3×1035h－Δv1＝＝－6

m/s＝5.3×1029

m/s，这个速度不确定量在宏观世界中微不足道，4πΔx1m10×1.0－可认为球的速度是确定的，其运动遵从经典物理学理论．

(2)me＝9.0×10－31 kg，Δx2＝10－－10 m 5.3×1035hΔv2＝＝－10105

m/s，这个速度不确定量不可忽略，不能认－31

m/s≈5.89×4πΔx2me10×9.0×10为原子中的电子具有确定的速度，其运动不能用经典物理学理论处理．

理解不确定性关系时应注意的问题

1．对球这样的宏观物体，不确定量是微不足道的，对测量准确性没有任何限制，但对微观粒子却是不可忽略的．

2．在微观世界中，粒子质量较小，不能同时精确地测出粒子的位置和动量，也就不能准确地把握粒子的运动状态．

1．(概率波的理解)下列说法正确的是(

) A．概率波就是机械波

B．物质波是一种概率波

C．概率波和机械波的本质是一样的，都能发生干涉和衍射现象

D．在光的双缝干涉实验中，若有一个光子，则能确定这个光子落在哪个点上

答案

B 解析

概率波与机械波是两个概念，本质不同，A、C错误；物质波是一种概率波，符合概率波的特点；在光的双缝干涉实验中，若有一个光子，则不能确定这个光子落在哪个点上，D错．故B正确．

2．(对不确定性关系的理解)(多选)关于不确定性关系ΔxΔp≥(

) A．微观粒子的动量不可确定

B．微观粒子的位置坐标不可确定

C．微观粒子的动量和位置不可能同时确定

D．不确定性关系不仅适用于电子和光子等微观粒子，也适用于其他宏观粒子

答案

CD 解析

不确定性关系表示位置、动量的精度相互制约，此长彼消，当粒子的位置不确定性更小时，粒子动量的不确定性更大；反之亦然，故不能同时准确确定粒子的位置和动量，不确h有以下几种理解，正确的是4π

定性关系是自然界中的普遍规律，对微观世界的影响显著，对宏观世界的影响可忽略，故C、D正确．

3．(不确定性关系式的计算)质量为10 g的子弹与电子的速率相同，均为500 m/s，测量准确度为0.01%，若位置和速率在同一实验中同时测量，试问它们位置的最小不确定量各为多少？(普朗克常量h＝6.63×10答案

1.06×10－31－34 J·s，电子质量为m＝9.1×10－－31kg，结果保留三位有效数字) m

1.15×103 m 解析

由题意知子弹、电子的速度不确定量为Δv＝0.05 m/s，子弹的动量的不确定量Δp1＝5×104 kg·m/s，电子动量的不确定量Δp2≈4.6×10－－－32h kg·m/s，由Δx≥，子弹位置的最小4πΔp6.63×1034－31不确定量Δx1＝

m，电子位置的最小不确定量Δx2＝－4

m≈1.06×104×3.14×5×106.63×1034－3 m. －32

m≈1.15×104×3.14×4.6×10－